Helix surfaces in the special linear group

Montaldo, Stefano; Onnis, Irene I.; Passamani, Apoenã Passos

doi:10.1007/s10231-014-0452-0

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“…After substituting these relations in (3.2) and long but straightforward computations, we obtain the metric As we mentioned before, the SL(2, R) is the least researched among homogeneous geometries, and thus we will explain both models here in detail. The hyperboloid model is used in the [5,7,12,13,17] and the right half-space model in [1,8,9,14].…”

Section: Proposition 32 An Isometry σ : C → R Between the Open Cylinder Model C And The Right Half-space Model Rmentioning

confidence: 99%

Generalization of the Cayley transform in 3D homogeneous geometries

Erjavec¹

2018

Turk J Math

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The Cayley transform maps the unit disk onto the upper half-plane, conformally and isometrically. In this paper, we generalize the Cayley transform in three-dimensional homogeneous geometries which are fiber bundles over the hyperbolic plane. Obtained generalizations are isometries between existing models in corresponding homogeneous geometries. Particularly, constructed isometry between two models of SL(2, R) geometry is nontrivial and enables comparison and transfer of known and even future results between these two models.

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Section: Proposition 32 An Isometry σ : C → R Between the Open Cylinder Model C And The Right Half-space Model Rmentioning

confidence: 99%

Generalization of the Cayley transform in 3D homogeneous geometries

Erjavec¹

2018

Turk J Math

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“…Recentemente foram publicados vários trabalhos inerentes ao estudo desta classe de superfícies em outras variedades tridimensionais (ver, por exemplo, [12,13,16,23,24,25]). Em [8], os autores estudam as propriedades das superfícies de ângulo constante em R 3 , escrevendo esta condição (de ângulo constante) como uma equação de Hamilton-Jacobi que liga a superfície com o campo de direções do espaço ambiente.…”

Section: Capítulo 1 Superfícies De âNgulo Constante Em Runclassified

“…Como ∂ v é também tangente a M, podemos escrever 25) onde η ∈ C ∞ (R). Substituindo a equação acima no sistema (4.24) obtemos: 27) o qual tem solução dada por:…”

Section: Sabemos Queunclassified

“…capítulo apresentaremos com mais detalhes os resultados do artigo[16] sobre a classificação completa das superfícies de ângulo constante no grupo de Heisenberg tridimensional e, também, alguns resultados parciais sobre a mesma categoria de superfícies em outros espaços homogêneos tridimensionais (com grupo de isometrias de dimensão 4). foram publicados vários trabalhos inerentes ao estudo desta classe de superfícies em variedades tridimensionais (ver, por exemplo,[16,23,24,26,27,25]). …”

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Subvariedades de ângulo constante em 3-variedades homogêneas

Teixeira¹

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Um resultado clássico enunciado por M.A. Lancret em 1802 e provado por B. de Saint Venant em 1845 é: uma condição necessária e suficiente para que uma curva forme um ângulo constante com respeito a um campo de Killing unitário de R 3 é que a razão entre a curvatura e a torção seja constante. Curvas deste tipo são chamadas hélices generalizadas. O problema de Lancret-de Saint Venant foi generalizado para curvas em outras variedades de dimensão três como, por exemplo, as formas espaciais e os grupos de Lie. Outra maneira de generalizar o estudo anterior é passar de curvas para superfícies, ou seja estudar as superfícies orientadas de 3-variedades Riemannianas cuja normal unitária faz um ângulo constante com certos campos de vetores "privilegiados" do espaço ambiente. Nesta dissertação estudaremos os resultados obtidos em [16, 24, 26, 27] sobre a classificação de curvas e superfícies de ângulo constante nas seguintes 3-variedades homogêneas: R 3 , o grupo de Heisenberg tridimensional e as esferas de Berger.

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“…Além disso, Montaldo-Onnis, em [51], caracterizaram as superfícies do tipo hélice na família a um parâmetro das esferas de Berger S quais demonstramos que, em cada um dos três casos, estas podem ser obtidas pela ação de um subgrupo do grupo de isometrias de (SL(2, R), g τ ) sobre uma curva de SL(2, R). Ressaltamos que os resultados presentes neste capítulo foram publicados no artigo [52]. …”

unclassified

Geometria de curvas e subvariedades bi-harmônicas

Passamani¹

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A Deus, por seu cuidado me dando saúde e forças para concluir essa etapa de minha vida e também por ter colocado pessoas tão especias nesta minha caminhada. Agradeço a Deus também pelas oportunidades de crescimento e aprendizagem das quais este doutorado faz parte.À minha amada família que sempre me apoiou e me deu muitas felicidades e orgulho. Em particular ao meu pai, que acumula as funções de melhor amigo e conselheiro, e à minha mãe guerreira e grande exemplo de perseverança. Quero também citar meus avós Carlos, Guaraci, Leonilde e Zilda, por sua grande influência positiva em minha educação. E não posso deixar de agradecer às minhas irmãs Tainah, Taiana e Fernanda, por serem amigas e grande motivo de felicidade que me incentiva diariamente.À minha namorada Ginnara, que me apoiou, foi compreensiva e me ajudou no dia a dia desta conquista.Aos meus amigos, todos com sua importância, que foram fundamentais nesta etapa de minha vida longe de minha família, muitas vezes tendo feito as vezes desta. Em especial a Alcebíades, Alex, Natália, Andreza, Mayron, Bruna, Camila, Flávio, Nelson, dona Wilma e Sr. Luís, Northon, Patrícia, Thaís Maria, Rafael Borro, Alexandra, Rafael Morais, Vinícius.iii iv À minha orientadora profa. Irene Ignazia Onnis por ter sido atenciosa, dedicada e incentivadora.Ao professor Stefano Montaldo por ter me recebido de forma calorosa em meu estágio na Itália e ter se dedicado na coorientação de minha tese.Por fim, agradeço a Capes pelo suporte financeiro. ResumoNeste trabalho estudamos essencialmente problemas relacionados aos conceitos de superfícies e curvas bi-harmônicas e de superfícies de ângulo constante.Caracterizamos as curva bi-harmônicas do grupo especial linear SL(2, R). Em particular, mostramos que todas as curvas bi-harmônicas de SL(2, R) são hélices e damos suas parametrizações explícitas como curvas do espaço pseudo-Euclidiano R 4 2 .Estudamos as superfícies biconservativas (as quais representam uma grande famí-lia que inclui as superfícies bi-harmônicas) nos espaços de Bianchi-Cartan-Vranceanu, obtendo a caracterização daquelas de ângulo constante e daquelas SO(2)-invariantes.Também, caracterizamos as superfícies de ângulo constante do espaço Euclidiano tridimensional que possuem aplicação de Gauss bi-harmônica, provando que são cilindros de Hopf sobre uma clotóide.Além disto, caracterizamos as superfícies de ângulo contante de SL(2, R). Mais especificamente, damos uma descrição local explícita para estas superfícies em termos de uma determinada curva de SL(2, R) e de uma família a um parâmetro de isometrias do espaço ambiente. v vi Palavras chave: imersões bi-harmônicas, imersões biconservativas, superfícies com aplicação de Gauss bi-harmônica, superfícies de ângulo constante. AbstractIn this work we mainly study some problems related to the concept of biharmonic curves and surfaces and to surfaces of constant angle.We characterize the biharmonic curves in the special linear group SL(2, R). In particular, we show that all proper biharmonic curves in SL(2, R) are helices and we...

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Helix surfaces in the special linear group

Abstract: We characterize helix surfaces (constant angle surfaces) in the special linear group SL(2,R). In particular, we give an explicit local description of these surfaces by means of a suitable curve and a 1-parameter family of isometries of SL(2,R)

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Generalization of the Cayley transform in 3D homogeneous geometries

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Subvariedades de ângulo constante em 3-variedades homogêneas

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