High frequency wave packets for the Schrödinger equation and its numerical approximations

Abstract

We build Gaussian wave packets for the linear Schrödinger equation and its finite difference space semi-discretization and illustrate the lack of uniform dispersive properties of the numerical solutions as established in Ignat and Zuazua (2009) [6]. It is by now well known that bigrid algorithms provide filtering mechanisms allowing to recover the uniformity of the dispersive properties as the mesh size goes to zero. We analyze and illustrate numerically how these high frequency wave packets split and propagate under these bigrid filtering mechanisms, depending on how the fine grid/coarse grid filtering is implemented. r é s u m é On construit des paquets d'ondes gaussiennes pour l'équation de Schrödinger linéaire continue unidimensionnelle ainsi que pour sa semi-discrétisation en espace par différences finies. On illustre numériquement le manque d'uniformité par rapport au pas du maillage des propriétés de dispersion des solutions numériques démontré dans Ignat et Zuazua (2009) [6]. Par ailleurs, il est bien connu que les algorithmes bi-grilles sont des mécanismes de filtrage efficaces pour récupérer l'uniformité des propriétés dispersives. On analyse la façon dont les solutions bi-grilles correspondant à plusieurs projections de la grille fine sur la grossière se divisent en plusieurs paquets d'ondes, chacun se propageant différement. On représente numériquement ces phénomènes et on montre que ce comportement est en accord avec les résultats théoriques connus sur la dispersion des solutions bi-grilles. Dans [6], il a été démontré que les solutions de l'équation de Schrödinger linéaire unidimensionnelle semi-discretisée en espace par différences finies sur une grille uniforme ne vérifient pas les estimations dispersives de l'équation de Schrödinger continue (estimations L q t − L p x et gain d'une demi-dérivée localement en espace) uniformément par rapport au pas du maillage. Ce comportement pathologique est dû à l'existence de points critiques qui annulent l'une des deux premières dérivées de la relation de dispersion.Une manière de récupérer l'uniformité de ces estimations consiste à faire un filtrage bi-grille des données initiales. Ce mécanisme a été introduit dans le travail pionnier de R. Glowinski [4] sur le filtrage bi-grille pour le contrôle des ondes. Son efficacité a été démontrée rigureusement dans le contexte des propriétés dispersives de l'équation de Schrödinger dans [6]. Plus précisement, tout en gardant le schéma d'approximation semi-discret conservatif en différences finies, il s'agit de considérer uniquement des données initiales dans un maillage quatre fois plus grossier et de les prolonger par interpolation linéaire sur la grille fine.Notre objectif principal dans cette Note est d'illustrer numériquement les effets pathologiques des solutions numériques et d'étudier dans quelle mesure ils disparaissent lorsqu'on applique les mécanismes de filtrage bi-grille.Nous considérons des données initiales oscillatoires obtenues à partir d'un profil gaussien concentré en Fourier autour d'un certain no...

The Dispersion property for Schrödinger equations

“…In this paper we will not discuss the possible numerical approximation of the NSE as in [17,18,2,23] where there is a parameter h, the mesh size, that it is going to zero.…”