Higher accurate approximate solutions for the simple pendulum in terms of elementary functions

Francés, Jorge; Ortuño, Manuel; Gallego, Sergi; Bernabeu, José Guillermo

doi:10.1088/0143-0807/31/3/l04

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“…Considering equation (6) as the starting point, some other authors have obtained better approximate expressions for the period of a simple pendulum [6,17]. To do this, they expressed € cos(θ 0 / 2) in equation (7) as a function of k (equation (3)) and they…”

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confidence: 99%

Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Beléndez¹,

Garde²,

Márquez³

et al. 2011

Eur. J. Phys.

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An approximate scheme for obtaining the period of a simple pendulum for large amplitude oscillations is analysed and discussed. When students express the exact frequency or the period of a simple pendulum as a function of the oscillation amplitude, and they are told to expand this function in a Taylor series, they always do so using the oscillation amplitude as the variable, without considering that if they change the variable (in this paper to the new variable m), a different Taylor series expansion may be done which is in addition more accurate than previously published ones. Students tend to believe that there is one and only one way of performing a Taylor series expansion of a specific function. The approximate analytical formula for the period is obtained by means of a Taylor expansion of the exact frequency taking into account the KiddFogg formula for the period. This approach based on the Taylor expansion of the frequency about a suitable value converges quickly even for large amplitudes. We believe that this method may be very useful for teaching undergraduate courses on classical mechanics and helping students understand nonlinear oscillations of a simple pendulum.

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Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Beléndez¹,

Garde²,

Márquez³

et al. 2011

Eur. J. Phys.

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“…As aproximações lienares, em geral são bem simples, e foram propostas por L. H. Cadwell & E. R. Boyco [15], W. P. Ganley [16], M. I. Molina [17], R. B. Kidd & S. L. Fogg [18,19], R. R. Parwani [20] e G. E. Hite [21]. Diversos outros tipos de aproximações foram porpostadas por outros autores, tais como, logarítmicas por F. M. S. Lima & P. Arun [22] e por Xue De-Sheng et al [23], analíticas por Beléndez et al [24][25][26] e M. Turkyilmazoglu [27], aritmética-geomémtrica por C. G. Carvalhaes & P. Suppes [28], assintótica por A. Cromer [29], combinação da logarítmica e da assintótica por F. M. S. Lima [30], expansão delta linear por P. Amore et al [31], além de outras.…”

Section: Introductionunclassified

Uma revisão das aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações do período de um pêndulo simples

Lopes

Suave

Nogueira

2018

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Embora a aproximação sin θ ≈ θ para determinação do período de um pêndulo simples seja muito bem conhecida e estudada desde o primeiro ano do ensino médio, ela tem bons resultados somente para pequenas amplitudes de oscilações. Já as aproximações para grandes amplitudes de oscilações são praticamente desconhecidas pela grande maioria dos professores e alunos do ensino médio e superior. Então, neste trabalho, nós fazemos uma revisão das principais sugestões de aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações para o cálculo do período de um pêndulo simples e uma comparação entre seus resultados. Palavras-chave: Pêndulo simples, aproximações lineares, grandes amplitudes.Although the sin θ ≈ θ approximation to calculate the period of a simple pendulum is well-known and studied from the first year of high school, it only has good results for small oscillation amplitudes. Now, the approximations for large oscillation amplitudes are almost completely unknown by the vast majority of theachers and students of high school and of undergraduate. Hence, in this work, we review the main approximation suggestions for large oscillation amplitudes to calculate the period of a simple pendulum and we make a comparison between their results, too. Keywords: simple pendulum, linear approximations, large amplitudes. IntroduçãoO estudo de um pêndulo simples é comumente abordado na totalidade dos livros textos de física do ensino mé-dio [1-3] e dos cursos de graduação [4][5][6]. O pêndulo simples também tem servido como paradigma no estudo de problemas lineares e não lineares [7][8][9][10]. Ainda, é muito comum o uso do pêndulo simples na literatura para exemplificar determindos assuntos que se está abordando (como meio para atingir um objetivo), como faz J. Clement [11] para demonstrar que os estudantes têm conceitos primitivos mal compreendidos, ou fazem R. N. Suave e J. A. Nogueira [12] para discutir os cuidados que se deve tomar em fazer aproximações e desprezar termos considerados de menor ordem. Embora, aparentemente simples, o estudo de um pêndulo simples pode ser um problema muito rico, como pode ser visto nas referências [13,14]. Pelo fato de ser um experimento de relativamente fácil execução, ele é muito usado para determinação do módulo da aceleração da gravidade g.O cálculo para obtenção do período exato do pêndulo simples é algo complexo (para alunos das disciplinas de física básica) e seu resultado não pode ser dado em termos de funções elementares. Por esse motivo, nos livros * Endereço atual: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) † Endereço de correspondência: jose.nogueira@ufes.br. textos do ensino médio, sem exceções, e das disciplinas básicas de física dos cursos de graduação, quase sem exceções, o período de um pêndulo simples é determindado apenas considerando-se pequenas amplitudes de oscilações, onde a aproximação linear senθ ≈ θ é empregada. Nessa aproximação, o pêndulo simples é muito usado para ilustrar o movimento harmônico simples (MHS). Contudo, a princípio, tal aproximação ...

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“…Beyond this small-angle regime, the number of terms to be included in the above series increases with θ m . The literature is rich on this topic, presenting distinct approximations for the large-angle period [3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19].…”

Section: Introductionmentioning

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Fourier analysis of nonlinear pendulum oscillations

Singh¹,

Arun²,

Lima

2018

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Since the times of Galileo, it is well-known that a simple pendulum oscillates harmonically for any sufficiently small angular amplitude. Beyond this regime and in absence of dissipative forces, the pendulum period increases with amplitude and then it becomes a nonlinear system. Here in this work, we make use of Fourier series to investigate the transition from linear to nonlinear oscillations, which is done by comparing the Fourier coefficient of the fundamental mode (i.e., that for the small-angle regime) to those corresponding to higher frequencies, for angular amplitudes up to 90 •. Contrarily to some previous works, our results reveal that the pendulum oscillations are not highly anharmonic for all angular amplitudes. This kind of analysis for the pendulum motion is of great pedagogical interest for both theoretical and experimental classes on this theme.

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Higher accurate approximate solutions for the simple pendulum in terms of elementary functions

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Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

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