Higher-Dimensional Algebraic Geometry

Cone theorem via Deligne–Mumford stacks

“…Proposition 3.1 (see [De01] or [KM98]). Let X be a projective variety, f : C → X a smooth curve and c a point on C. Assume C is irrational.…”

“…If dim [f ] M or(P 1 , X; f | {0,∞} ) ≥ 2, then the 1-cycle f * P 1 is (algebraically) equivalent to a connected non-integral effective rational 1-cycle passing through 0 and ∞. Proposition 3.3 (see [De01]). Let X be a projective variety, H a nef divisor, f : C → X a smooth curve, B a finite subset of C. If dim [f ] M or(C, X, f | B ) ≥ 1, then there is a rational curve R which meets f (B), and H · R ≤…”

“…We only prove this lemma when ch(k) = p > 0. Once we prove the result in ch(k) = p, the result in ch(k) = 0 follows by a standard argument (see for example [KM98], [De01]): Suppose that everything is defined over a finitely generated subring Z ⊂ R ⊂ k. The only thing needed to be additionally careful with is to avoid those maximal ideals m that the characteristics of R/m divide the orders of stabilizer groups. These maximal ideals are contained in a finite union of subvarieties of Spec R.…”

Difféomorphismes holomorphes Anosov

“…Toutefois, la construction du quotient rationnel montre que c'est presque le cas (cf. [9], chap. D'après le corollaire 5.14 du livre [9], on peut choisir une courbe rationnelle c : P 1 (C) → V passant par un point générique de V pour laquelle c * (T M) est la somme directe de dim(V ) fibrés en droites strictement positifs et de codim(V ) fibrés en droites triviaux.…”

“…[9], chap. D'après le corollaire 5.14 du livre [9], on peut choisir une courbe rationnelle c : P 1 (C) → V passant par un point générique de V pour laquelle c * (T M) est la somme directe de dim(V ) fibrés en droites strictement positifs et de codim(V ) fibrés en droites triviaux. Les facteurs positifs de cette somme directe correspondent au fibré tangent de V et les facteurs triviaux au fibré normal de V.…”