Hilfer–Prabhakar derivatives and some applications

Garra, Roberto; Gorenflo, Rudolf; Polito, Federico; Tomovski, Živorad

doi:10.1016/j.amc.2014.05.129

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“…Dentre as diversas formalizações para os ope-radores fracionários de integração e diferenciação [2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13], uma das mais conhecidas certamenteé a definição segundo Riemann-Liouville e neste trabalho faremos uso justamente desta formalização. …”

Section: Operadores De Integração E Diferenciação Fracionáriosunclassified

Solução da equação de Bessel via cálculo fracionário

Rodrigues

Oliveira²

2015

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Nesse trabalho estudamos a resolução de um caso particular da equação hipergeométrica confluente, a equação de Bessel de ordem p, utilizando a teoria do cálculo de ordem não inteira. Em particular, a fim de comparar com a literatura existente, expomos os resultados da nossa investigação sob o rigor do formalismo matemático e levantamos alguns questionamentos a respeito da interpretação dos operadores de Riemann-Liouville quando agindo em certas funções. Para tanto, introduzimos as principais formulações dos operadores fracionários (RiemannLiouville), assim como o operador de integrodiferenciação fracionária queé a tentativa de se expressar ambos operadores de integração e diferenciação fracionárias de forma unificada. Palavras-chave: cálculo fracionário, equações diferenciais fracionárias, equação de Bessel.In this work we discuss the solvability of Bessel's differential equation of order p, which is a particular case of the confluent hypergeometric equation, from the perspective of the theory of calculus of arbitrary order, also usually known as fractional calculus. In particular, in order to compare our method with the formulations in the literature, we raise some questions about interpretations of the Riemann-Liouville operators when acting on certain types of functions. In order to do so, we present the main fractional operators (Riemann-Liouville) as well as the fractional integrodifferential operator, which is a unified view of both integration and differentiation under a single operator. Keywords: fractional calculus, fractional differential equations, Bessel equation. IntroduçãoUma das maiores motivações no desenvolvimento de uma nova teoria matemáticaé a busca por novos métodos e aplicações nos diversos problemas práticos e teóricos, sejam estes provenientes de novos desafios matemáticos da ciência contemporânea ou mesmo provenientes de "problemas clássicos", i.e., aqueles problemas que já foram profundamente estudados sob aótica das diversas teorias até então difundidas e aceitas. Com o intuito de tentar agregar valor ao uso do cálculo de ordem arbitrária, 2 este trabalho propõe uma abordagem relativamente simples do uso do cálculo fracionário para abordar equações diferenciais clássicas, tomando como exemplo a conhecida equação de Bessel, frequentemente encontrada no estudo dos fenômenos de propagação de ondas, de condução de calor e de equilíbrio eletrostático de domínios cilíndricos

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Section: Operadores De Integração E Diferenciação Fracionáriosunclassified

Solução da equação de Bessel via cálculo fracionário

Rodrigues

Oliveira²

2015

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…Here we note that the Prabhakar derivative in a form of R-L is given by RL [12,13] (see also [14]). [5].…”

Section: Prabhakar Derivativesmentioning

confidence: 99%

“…where (s) > |ν| 1/ρ [12]. For δ = 0, Prabhakar derivative corresponds to the Caputo fractional derivative of order 0 < µ < 1 with Laplace transform [5] L…”

Section: Prabhakar Derivativesmentioning

confidence: 99%

“…Here we note that the regularized Prabhakar derivative, Equation (11), is a special case of the Hilfer-Prabhakar derivative defined by [12] HP…”

Section: Prabhakar Derivativesmentioning

confidence: 99%

“…[5]. These derivatives are applicable in the fractional Poisson process [12], for description of dielectric relaxation phenomena [15,16], in the fractional Maxwell model in the linear viscoelasticity [17], in mathematical modeling of fractional differential filtration dynamics [18], in fractional dynamical systems [19], generalized reaction-diffusion equations [20], in generalized model of particle deposition in porous media [21], etc.…”

Section: Prabhakar Derivativesmentioning

confidence: 99%

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Generalized Langevin Equation and the Prabhakar Derivative

Sandev

2017

Mathematics

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A new approach for solving variable order differential equations based on Bernstein polynomials with Prabhakar function

Derakhshan

Aminataei

2020

Comp and Math Methods

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In this article, an accurate and robust numerical method is proposed to solve a class of nonlinear variable order fractional differential equations (FDEs) in the Caputo‐Prabhakar sense by using Bernstein polynomials (BPs). Here, we use the BPs to obtain operational matrices. This operational matrices of BPs are utilized to transform the studied variable order FDEs into a system of algebraic equations after dispersing the variable which greatly simplifies the solution process. By solving the system of equations, the numerical solutions are acquired. Some examples are provided in order to demonstrate the accuracy of the proposed method.

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Hilfer–Prabhakar derivatives and some applications

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Solução da equação de Bessel via cálculo fracionário

Solução da equação de Bessel via cálculo fracionário

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A new approach for solving variable order differential equations based on Bernstein polynomials with Prabhakar function

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