How to Approximate the Heat Equation with Neumann Boundary Conditions by Nonlocal Diffusion Problems

Cortázar, Carmen; Elgueta, Manuel; Rossi, Julio D.; Wolanski, Noemí

doi:10.1007/s00205-007-0062-8

Cited by 192 publications

(151 citation statements)

References 14 publications

Supporting

Mentioning

135

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…(See, for instance, [7,8]. ) Another close relation to the heat operator with diffusivity a was found in [5,13], where it was proven that for bounded and integrable initial data, the asymptotic behavior as t tends to infinity of the solution u L to the equation without absorption,…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 75%

Asymptotic behavior for a nonlocal diffusion equation with absorption and nonintegrable initial data. The supercritical case

Terra

Wolanski

2011

Proc. Amer. Math. Soc.

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. In this paper we study the asymptotic behavior as time goes to infinity of the solution to a nonlocal diffusion equation with absorption modeled by a powerlike reaction −u p , p > 1 and set in R N . We consider a bounded, nonnegative initial datum u 0 that behaves like a negative power at infinity. That is, |x| α u 0 (x) → A > 0 as |x| → ∞ with 0 < α ≤ N . We prove that, in the supercritical case p > 1 + 2/α, the solution behaves asymptotically as that of the heat equation (with diffusivity a related to the nonlocal operator) with the same initial datum.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 75%

Asymptotic behavior for a nonlocal diffusion equation with absorption and nonintegrable initial data. The supercritical case

Terra

Wolanski

2011

Proc. Amer. Math. Soc.

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Primero derivamos una teoría completa de existencia y unicidad para el problema (22), en X = L p (Ω), con 1 ≤ p ≤ ∞ o X = C b (Ω), con g globalmente Lipschitz.…”

Section: Resultsunclassified

“…Por tanto, damos resultados de comparación para el problema (22), con g globally Lipschitz, con constante Lipschitz suficientemente pequeña en comparación con J, usando argumentos de punto fijo.…”

Section: Resultsunclassified

“…Si g es localmente Lipschitz, y satisface condiciones de signo, entonces probamos existencia y unicidad de solución para el problema (22), con término no lineal g, tal que la constante de Lipschitz de g k 0 es suficientemente pequeña en comparación con J, donde g k 0 es la función truncada en k 0 asociada a g. De hecho, la existencia y unicidad será probada para datos iniciales en L ∞ (Ω), tales que u 0 L ∞ (Ω) ≤ k 0 . Además, probaremos propiedades de comparación para las soluciones de (22) con g y u 0 satisfaciendo las condiciones de arriba.…”

Section: Resultsunclassified

See 1 more Smart Citation

Nonlocal Diffusion Problems

Andreu-Vaillo¹,

Mazón

Rossi

et al. 2010

Mathematical Surveys and Monographs

439

394

View full text Add to dashboard Cite

A mis padres. AgradecimientosEn primer lugar me gustaría comenzar dando gracias a mi director de tesis Aníbal Rodríguez Bernal, por toda la ayuda recibida durante estos años, matemática y no tan matemática. Sobre todo por su infinita paciencia y por su entusiasmo, que muchas veces era un gran aliento para poder continuar adelante. Todas las discusiones durante estos años me han hecho crecer un poco más como matemática y como persona.También querría agradecer al Departamento de Matemática Aplicada por ofrecerme las comodidades para poder estudiar cada día en la facultad. Por otro lado, agradezco a la Universidad Complutense de Madrid y al Ministerio de Eduación por concederme la beca que ha hecho posible que pudiese desarrollar esta tesis.Muchas gracias al profesor Emmanuel Chasseigne, por toda la ayuda prestada durante mi estancia en Tours, tanto matemática como personal. Y por todas las veces que durante estos años me ha ayudado.También agradecer al profesor James Robinson su muy agradable acogida durante mi estancia en Warwick. Muchas gracias por las conversaciones matemáticas, por las comidas y por su hospitalidad. Me gustaría hacer un hueco en estos párrafos a Julia y Ale que hicieron de mi estancia en Warwick, una época que recordaré con mucho cariño.Agradecer a mi familia y a mis amigos el apoyo recibido durante estos años. Y sobretodo agradecer a mis compañeros, sin los cuáles, todo habría sido mucho menos llevadero. Muchas gracias por todos los cafés por las mañanas, discusiones matemáticas, las comidas, meriendas, poleos, chistes buenos (y no tan buenos), que han hecho que durante este periodo todos los días hayan merecido una sonrisa. Gracias a Alba, Simone, Carlos P., Alfonso, Carlos Q., Manuel, María, Luis F., Marcos, Edwin, Luis H., Andrea, Espe, Nadia, Giovanni, Nacho, Javi, Alicia, Álvaro, Diego, y muchos otros.Por último quiero dejar estas últimas lineas para agradecer a Diego, que me ha ayudado muchísimo tanto matemáticamente como personalmente. Gracias por tu apoyo, confianza, paciencia y ánimo. ContentsResumen ix Resumen IntroducciónLa difusión es un proceso natural por el que, por ejemplo, la materia es transportada de un lugar a otro como resultado del movimiento molecular aleatorio. El experimento clásico que ilustra este proceso es aquel en el que se coloca una gota de tinta en un recipiente lleno de agua, y la tinta tiende a extenderse por todo el recipiente y la solución aparece coloreada de manera uniforme. (Existen experimentos más refinados para asegurar que no haya convección).Los modelos de difusión aparece en diferentes áreas como biología, termodinámica, medicina, e incluso economía. En biología, existen modelos que estudian la dinámica poblacional, i.e., cambios a corto y largo plazo, en el tamaño y edad de la población, y procesos medioambientales y biológicos que influyen en esos cambios. La dinámica poblacional se enfrenta con la forma en la que la población se ve afectada por la tasas de natalidad y mortalidad, y por la inmigración y la emigración. En medicina, los modelos d...

show abstract

“…Concerning scalings of the kernel that approximate different problems we refer to [2], [21] and [31], where usual diffusion equations where obtained taking limits similar to the ones considered here.…”

Section: U(0 X) = U 0 (X)mentioning

confidence: 99%

The limit as p → ∞ in a nonlocal p-Laplacian evolution equation: a nonlocal approximation of a model for sandpiles

Andreu

Mazón

Rossi³

et al. 2008

Calc. Var.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. In this paper we study the nonlocal ∞−Laplacian type diffusion equation obtained as the limit as p → ∞ to the nonlocal analogous to the p−Laplacian evolution,We prove existence and uniqueness of a limit solution that verifies an equation governed by the subdifferetial of a convex energy functional associated to the indicator function ofWe also find some explicit examples of solutions to the limit equation.If the kernel J is rescaled in an appropriate way, we show that the solutions to the corresponding nonlocal problems converge strongly in L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) to the limit solution of the local evolutions of the p−laplacian, v t = ∆ p v. This last limit problem has been proposed as a model to describe the formation of a sandpile.Moreover, we also analyze the collapse of the initial condition when it does not belong to K by means of a suitable rescale of the solution that describes the initial layer that appears for p large.Finally, we give an interpretation of the limit problem in terms of Monge-Kantorovich mass transport theory.

show abstract

How to Approximate the Heat Equation with Neumann Boundary Conditions by Nonlocal Diffusion Problems

Cited by 192 publications

References 14 publications

Asymptotic behavior for a nonlocal diffusion equation with absorption and nonintegrable initial data. The supercritical case

Asymptotic behavior for a nonlocal diffusion equation with absorption and nonintegrable initial data. The supercritical case

Nonlocal Diffusion Problems

The limit as p → ∞ in a nonlocal p-Laplacian evolution equation: a nonlocal approximation of a model for sandpiles

Contact Info

Product

Resources

About