Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik dari Grup Abel Terurut Total R dan Z

Abstract

Misalkan 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ adalah grup abel terurut total. Bentuk umum setiap subgrup dari 𝛤𝛤 1 adalah 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ, sedangkan bentuk umum subgrup dari 𝛤𝛤 2 adalah 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 dengan 𝐺𝐺 ≤ ℝ dan 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Tujuan dari paper ini adalah memperoleh gambaran mengenai ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 . Metode yang digunakan yaitu diawali dengan menentukan subgrup-subgrup dari ℝ dan ℤ, kemudian menjumlahkan langsung subgrup-subgrup dari ℝ dan ℤ tersebut. Hasil jumlah langsung tersebut merupakan subgrup-subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 . Selanjutnya dilakukan uji sifat pengawetan urutan dari setiap bentuk subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 tersebut. Dari metode tersebut diperoleh hasil bahwa satu-satunya ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 adalah subgrup {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan satu-satunya ideal urutan yang tak trivial dari 𝛤𝛤 2 adalah subgrup {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ meskipun setiap subgrup tak trivial dari ℝ dan ℤ masingmasing tidak memiliki sifat pengawetan urutan. Kesimpulan pada paper ini adalah satu-satunya ideal urutan tak trivial pada ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ yang isomorfik dengan ℤ sebagai grup, sedangkan satusatunya ideal urutan tak trivial pada ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ yang isomorfik dengan ℝ sebagai grup. Kata Kunci: ideal urutan, subgrup, grup abel, urutan total, jumlah langsung leksikografik.