Idempotents in an ultrametric Banach algebra

Abstract

Let IK be a complete ultrametric field and let A be a unital commutative ultrametric Banach IK-algebra. Suppose that the multiplicative spectrum admits a partition in two open closed subsets. Then there exist unique idempotents u, v ∈ A such that φ(u) = 1, φ(v) = 0 ∀φ ∈ U, φ(u) = 0 φ(v) = 1 ∀φ ∈ V . Suppose that IK is algebraically closed. If an element x ∈ A has an empty annulus r < |ξ − a| < s in its spectrum sp(x), then there exist unique idempotents u, v such that φ(u) = 1, φ(v) = 0 whenever φ(x − a) ≤ r and φ(u) = 0, φ(v) = 1 whenever φ(x − a) ≥ s. RESUMENSea IK un cuerpo ultramétrico completo y sea A una IK-algebra de Banach ultramétrica unital conmutativa. Suponga que el espectro multiplicativo admite una partición en dos conjuntos abiertos y cerrados. Luego, existen idempotentesúnicos u, v ∈ A tales que φ(u) = 1, φ(v) = 0 ∀φ ∈ U, φ(u) = 0 φ(v) = 1 ∀φ ∈ V . Suponga que IK es algebraicamente cerrado. Si un elemento x ∈ A tiene un anillo vacío r < |ξ−a| < s en su espectro sp(x), entonces existen idempotentesúnicos u, v tales que φ(u) = 1, φ(v) = 0 cada vez que φ(x − a) ≤ r y φ(u) = 0, φ(v) = 1 cada vez que φ(x − a) ≥ s.