Identities of unitary finite-dimensional algebras

Exponential growth of codimensions of identities of algebras with unity

“…[1], [2]). В работе [13] для всех вещественных γ > 1 были построены примеры конечномерных алгебр с экспоненциальным ростом коразмерностей c n ∼ γ ′ ≈ γ. Как показано в [14], для конечномерных алгебр с единицей экспоненциальный рост не может быть медленнее чем 2 n . В работе [15] было отмечено, что если A -ассоциативная PI-алгебра, а A #алгебра, полученная из A путем присоединения внешней единицы, то exp(A # ) равняется exp(A) или exp(A) + 1.…”

“…Тем не менее это наблюдение позволило выдвинуть гипотезу, что exp(A # ) всегда равняется exp(A) или exp(A)+1. Первый нетривиальный пример, подтверждающий эту гипотезу, был построен в статье [14], еще один пример предложен в [18], а в [19] приведена уже серия примеров, в которых для любой алгебры A из работы [13] с exp(A) = γ ∈ R, 1 γ 2, ее расширение A # имеет экспоненту exp(A # ) = γ + 1 ∈ [2,3]. Заметим также, что в работе [20] автором была предложена конструкция построения по алгебре Ли L над полем F алгебры Пуассона, равной L ⊕ F как векторное пространство и содержащей L в качестве подалгебры Ли коразмерности один.…”

Polynomial identities and algebraic combinatorics on words

“…For non-associative algebras in [13] it was shown that ex p(A ) ≤ ex p(A) + 1. In [23] it was conjectured that ex p(A ) = ex p(A) or ex p(A) + 1 and it was proved that this conjecture holds for the five-dimensional algebra B constructed in [7]. In fact, ex p(B) = 3 +1.…”

“…In particular it follows that for any α ≥ 2, there exists a unitary algebra A whose PI-exponent exists and equals α. Notice that for a unitary finite dimensional algebra A either c n (A) is polynomially bounded or c n (A) ≥ 2 n , asymptotically (see [23]). For a non-unitary algebra A we know that c n (A) cannot have intermediate growth, but for any real numbers 1 < α < β there exists a finite dimensional algebra B with α < ex p(B) < β (see [5]).…”

On existence of PI-exponents of unital algebras

“…Given an algebra A, we denote by A the algebra obtained from A by adjoining the external unit. There is a number of papers where the existence of exp(A ) has been proved, provided that exp(A) exists [11,16,17]. Moreover, in all these cases, exp(A ) = exp(A) + 1.…”