Imbedding of an abstract variety in a complete variety

“…By the Nagata Theorem ( [5], Theorem 3.2) there is a projective variety Z containing U and dominating X. Indeed, take any projective variety X which contains U as an open dense subset.…”

Section: Proposition 21 Let X Be a Normal Complete Variety And Let mentioning

confidence: 99%

On the projectivity of threefolds

Jelonek

2005

Proc. Amer. Math. Soc.

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“…-D'après Nagata [27], il existe une k-variété propre X 1 et une immersion ouverte j 1 : X → X 1 . Si on note Z 1 = X 1 − X, on considère l'éclatement X de X 1 le long de Z 1 .…”

Section: Nous Donne En Passant Aux Algèbres Des Carrés Commutatifsunclassified

Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie rigide

Denis¹

2003

Bul. Soc. Math. France

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Résumé. -Nous construisons dans cet article les classes de Chern et les classes de cycles en cohomologie rigide. Nous démontrons par la suite que ces constructions vérifient bien les propriétés attendues. La cohomologie rigide est donc une cohomologie de Weil. Abstract (Chern classes and cycle classes in rigid cohomology)We define in this article Chern classes and cycle classes in rigid cohomology. Then we prove that these constructions verify the expected properties. The rigid cohomology is a Weil cohomology. [8]. Cependant, il semble difficile de définir la cohomologie rigide d'un topos classifiant en utilisant la définition basée sur des plongements. Après s'être ramené au cas des variétés propres, nous utiliserons une définition de la cohomologie rigide basée sur les topos cristallin de niveau m. Nous réinterprétons alors le calculà base de cocycle précédant de manière cristalline ce qui permet de le généraliser au cas des variétés simpliciales. On achève la démonstration de l'additivité en suivant [8]. Nous en profitons pour construire des classes de Chernà valeurs dans la cohomologie cristalline de niveau m. Pour les classes de cycles, le morphisme trace peut-être vu comme unélément de l'homologie rigide -dual de la cohomologie rigideà support compact. On appelle cetélément la classe fondamentale. Les classes de cycles se définissent alors par fonctorialité et linéarité. On montre alors que cela correspondà l'image de 1 par le morphisme de Gysin, ce qui permet de prouver que si D est un diviseur d'une variété lisse, la classe ainsi définie estégaleà la classe du pseudo-diviseur associéà D. On en déduit la compatibilité des classes de cyclesà l'équivalence rationnelle.Précisons les différentes parties de l'article. Nous commencerons par un chapitre préliminaire, dans lequel on trouvera des rappels sur la définition de la cohomologie rigide ainsi que sur ses propriétés. Nous en profiterons pour faire aussi quelques rappels sur les cycles et leurs intersections, en particulier pour les variétés singulières. CLASSES DE CHERN ET CLASSES DE CYCLES EN COHOMOLOGIE RIGIDE 61Dans la deuxième partie, nous définirons l'homologie rigide (les classes de cycles se définissent naturellement dans l'homologie et non la cohomologie si on s'intéresseà des variétés singulières). Nous montrerons alors comment on peut,à partir des propriétés de la cohomologie rigide, montrer que l'on a un formalisme de théorie de dualité de Poincaré au sens de Bloch-Ogus [10] : nous exhiberons la construction de la classe fondamentale d'une variété intègre qui sera la base de la définition des classes de cycles. Toutes les constructions de cette partie sont formelles.Dans la troisième partie, nous construirons, par un calcul de cocycles, la classe de cohomologie associéeà un pseudo-diviseur. On commencera par traiter le cas des variétés propres pour s'intéresser par la suite aux variétés ouvertes. C'est cette construction qui est le coeur de cet article.Dans la partie 4, nous définirons la première classe de Chern d'un fibré inversible comme u...

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Imbedding of an abstract variety in a complete variety

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References 2 publications

Completeness and compactness for varieties over a local field

Completeness and compactness for varieties over a local field

On the projectivity of threefolds

Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie rigide

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