Integral method of solving heat-conduction problems with boundary condition of the second-kind. 2. Analysis of accuracy

Abstract

Аннотация. Представлен алгоритм нахождения полиномиальных решений краевых задач нестационарной теплопроводности с переменным во времени граничным условием второго рода для тел плоской геометрии, а также с цилиндрической и сферической симметрией. Данный алгоритм основан на введении в рассмотрение граничных характеристик в виде определенного набора из k-кратных производных и n-кратных интегралов от заданной в виде граничного условия временной функции теплового потока на поверхности тела. Отдельно рассмотрены две стадии процесса: 1 -температурный фронт не достигает центра симметрии тела; 2 -температурный фронт достигает центра симметрии тела и прогрев происходит по всему сечению. На примерах симметричного нагрева протяженной пластины с постоянным и переменным тепловым потоком продемонстрирована очень высокая точность предложенного подхода на основе интегрального метода граничных характеристик (ИМГХ). По сравнению с методом дополнительных граничных условий предложенный метод ИМГХ позволяет уменьшить относительную ошибку аппроксимации (при одинаковых степенях полиномов N) на три-пять порядков и более, доводя ее до пренебрежимо малых величин (0,00028 % при N = 11; 0,000025 % при N = 14). Установлено, что с каждым последующим приближением (посредством добавления в полином трех степеней) для первой стадии процесса аппроксимационная ошибка снижается на порядок. Для второй стадии процесса описан эффективный алгоритм нахождения собственных значений краевой задачи теплопроводности, связанный с введением в рассмотрение дополнительной функции, соответствующей наибольшей по порядку величины граничной интегральной характеристике. Это позволяет перевести получаемое на основе ИМГХ интегро-дифференциальное уравнение в обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями. Проведенные расчеты температуры в центре симметрии пластины подтвердили исключительно высокую аппроксимационную точность предложенного подхода. Ключевые слова: уравнение теплопроводности, приближенный метод, интегральные тождества, фронт возмущения Для цитирования: Кот, В. А. Интегральный метод решения задач теплопроводности с граничным условием второго рода. 2. Анализ точности / В. А. Кот // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук.Abstract. An algorithm of finding polynomial solutions of boundary-value problems on nonstationary heat conduction with a time-dependent boundary condition of the secondary kind for bodies having a plane geometry, a cylindrical symmetry, or a spherical symmetry is presented. Thе algorithm is based on the introduction into consideration of the boundary characteristics in the form of a definite set of k-fold derivatives and n-fold integrals with respect to the time function of the heat flow on the surface of a body representing a boundary condition. Two stages of the heat-conduction process were considered separately: 1) the temperature front does not reach the center of a body and 2) the temperature front reaches the center of the body, and it is heated throughout its thickness. By the example of symmetric...

Integral method of solving heat-conduction problems with the second-kind boundary condition. 3. Pulsed laser heating

“…Решение характеризуется очень грубым приближением, поскольку представлено температурным профилем в виде полинома второй степени. Настоящая работа является логическим продолжением [11,12] и ставит целью адаптацию интегрального метода граничных характеристик (ИМГХ) в приложении к решению тепловых задач лазерного импульсного нагрева при термообработке материалов.…”

“…Определив из (37) коэффициенты ( 0,7) = j a j и применив далее соотношение (31) [12], придем к дифференциальному уравнению Как показывает анализ, полученное решение является расходящимся, что дает основание судить о его допустимости при 0 < t < 0,4 (рис. 5).…”

“…Для отыскания приближенного решения зададим температурный профиль полиномом седьмой степени (N = 7). В таком случае, используя граничные условия и пять тождественных равенств последовательности (60)[12], придем к системе линейных алге-…”

“…ближении. Как видим, имеет место практически полное совпадение данных кривых, причем как на стадии нагрева, так и на стадии охлаждения.На основе полученных в[12] решений для температурной функции T(x, t) в приближениях 2, 4 k = запишем формулу, описывающую изменение температуры поверхности полупространства:…”