Inverse Problem for Sturm – Liouville Operators in the Complex Plane

Abstract

Голубков Андрей Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Специализированный учебно-научный центр (факультет) -школа-интернат имени А. Н. Колмогорова Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (СУНЦ МГУ), Россия, 121357, Москва, Кременчугская, 11, andrej2501@yandex.ru Впервые изучена обратная задача для стандартного уравнения Штурма -Лиувилля со спектральным параметром ρ и потенциалом, кусочно-целым на спрямляемой кривой γ ⊂ C, у которой задана только начальная точка. Ограниченная на кривой γ функция Q является кусочно-целой на ней, если γ можно разбить конечным числом точек на участки, на которых Q совпадает с целыми функ-циями, различными на соседних участках. Точки разбиения, начальная и конечная точки кривой называются критическими точками. Ставится задача нахождения всех критических точек γ и по-тенциала на ней по столбцу или строке передаточной матрицыP вдоль γ. На основе полученной асимптотикиP при |ρ| → ∞ доказано, что если хотя бы один её элемент ограничен при любых ρ ∈ C, то γ после удаления всех «невидимых петель» вырождается в точку («невидимая петля» --такая петля кривой γ с заданной кусочно-целой функцией, узел которой совпадает с двумя по-следовательными критическими точками). В статье доказана единственность решения поставленной обратной задачи для кривых без «невидимых петель». На примере обратной задачи для уравнения d dx 1 r(x) dy dx + q(x) − r(x)λ 2 y(x) = 0 с кусочно-целым потенциалом q(x) и кусочно-постоянной функцией r(x) = 0 на отрезке действительной оси показана полезность полученных результатов при исследовании обратных задач для обобщенных уравнений Штурма -Лиувилля, приводимых к изученному в статье типу.Ключевые слова: уравнение Штурма -Лиувилля на кривой, кусочно-целый потенциал, передаточная матрица, асимптотика, обратная спектральная задача.

A boundary value problem for the Sturm–Liouville equation with piecewise entire potential on the curve and solution discontinuity conditions

“…Определение 4. Набор характеристических данных (5) уравнения (1) класса D будем называть простым, если N = 0 или выполнены следующие условия (11) η(n) / ∈ Ω :=…”

“…При N ≥ 1 подстановка формул ( 22), ( 33) -(36) в соотношение (32) с учетом условий (11) полностью доказывает формулу (30), а также формулу (31…”

“…Общий анализ связи особенностей спектра с параметрами набора характеристических данных простой кривой, на которой рассматривается краевая задача, представляет интерес, прежде всего, с точки зрения решения обратных задач. При этом особенно ценными его результаты могут оказаться при доказательстве теорем существования решений обратных задач для уравнения (1) класса D по спектрам, поскольку для доказательства теорем единственности в работе [11] был разработан значительно более простой и очень эффективный метод единичной передаточной матрицы, который с небольшими изменениями может быть обобщен на рассматриваемый в настоящей работе случай уравнения (1) с условиями разрывов (3).…”

“…При этом, несмотря на большое число работ, посвященных исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений на комплексной плоскости (см. книги [5,6,7] и литературу в них), асимптотическое поведение при |λ| → ∞ решений уравнений Штурма-Лиувилля на кривых и спектры краевых задач для таких уравнений изучены только при достаточно жестких ограничениях на форму кривой [8,9,10] и (или) на коэффициенты уравнения [6,7,11,12]. Так в работе [9] рассмотрены задачи с простейшими краевыми условиями для уравнения Штурма-Лиувилля стандартного вида (1) u ′′ (z) + (Q(z) − λ 2 )u(z) = 0 на выпуклой кривой γ с параметризацией z(x) = x + is(x) (x ∈ [0, 1], s(0) = s(1) = 0, функция s(x) непрерывно дифференцируема, s ′ не убывает, s ′ (0) < 0 < s ′ (1), i -мнимая единица) и исследованы необходимые и достаточные условия (на потенциал Q ∈ L 1 (γ)) локализации спектра этих задач около одного луча.…”