Inverse Problems for Tumour Growth Models and Neural ODEs

Abstract

Syftet med avhandlingen är att undersöka matematiska modeller och metoder för tillväxt av hjärntumörer samt för artificiella neurala nätverk inom maskininlärning. I första delen studeras en matematisk modell för tillväxt av hjärntumörer. Den anger hur tumörcellerna ändras över tid. Data innehåller bland annat information om värden på parametrar och cellernas fördelning vid en viss tidpunkt. Modellen har den bra egenskapen att fel i data inte direkt stör beräknad tillväxt. Ibland behöver parametrar skattas eller så behöver man stega bakåt i tiden för att ta reda på hur tumören såg ut tidigare. Dessa uppgifter är exempel på inversa och illa-ställda problem. Sådana problem är svårare för att fel i data inte kan kontrolleras utan kan förstöra beräkningar. I avhandlingen föreslås metoder som kallas regulariserande eftersom dessa på ett stabilt sätt, d.v.s. utan att felen förstör, beräknar tumörens form bakåt i tiden. Egenskaper hos metoderna undersöks och 3-dimensionella datorberäkningar utförs av tumörens förändring.Den andra och sista delen studerar en gren av artificiell intelligens och maskininlärning, så kallade djupa neurala nätverk. Dessa är inspirerade av hjärnan med dess många nervceller kopplade i form av lager. Sådana nätverk tränas att klara en uppgift som att finna tumörer i medicinska bilder. I de här neurala nätverken finns lager med okända parametrar, vilka för en sådan uppgift bestäms från en stor mängd data. En matematisk modell som kan hantera oändligt många lager i ett neuralt nätverk föreslås och det inversa problemet att beräkna de okända parametrarna i nätverket undersöks. Stabila metoder som i första delen framtas. Med hjälp av matematik och modellens struktur kan viktiga frågor om stabilitet och känslighet hos djupinlärning besvaras. I framtiden kan de två delarna, matematisk modellering och maskininlärning, kopplas samman för att på ett förfinat och stabilt sätt bestämma tillväxten hos tumörer både framåt och bakåt i tiden.