Jacobson Radicals of Ore Extensions of Derivation Type

Tsai, Yuan-Tsung; Chuang, Chen-Lian

doi:10.1080/00927870601117613

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“…Actually, one of our crucial steps, namely Lemma 5, is based on the smart argument of [1]. Other results in this direction can be found in [3,21,22,23,25,26]. We remark that the results here are false if |X| = 1.…”

Section: Corollary 2 Let R Be a Domain With The Extended Centroid Cmentioning

confidence: 84%

“…Given a map φ : X → L, let R[X; φ] denote the ring of polynomials in noncommuting indeterminates x ∈ X and with coefficients in R subjected to the following commutation rule for a ∈ R and x ∈ X: xa = σ(a)x + δ(a), where δ = φ(x) is a σ-derivation. [4,6,25,26].) We stress here that the indeterminates x ∈ X do not commute with each other.…”

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 99%

“…This topic has been extensively studied in various directions for a few decades. See, for example, [4,5,6,7,10,11,12,13,16,17,25,26].…”

Section: We Call R[x; φ] the Ore Extension Of R By φ (Seementioning

confidence: 99%

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Symmetric Utumi quotient rings of Ore extensions by skew derivations

Chuang

Tsai

2010

Proc. Amer. Math. Soc.

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Section: Corollary 2 Let R Be a Domain With The Extended Centroid Cmentioning

confidence: 84%

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 99%

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Symmetric Utumi quotient rings of Ore extensions by skew derivations

Chuang

Tsai

2010

Proc. Amer. Math. Soc.

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“…We also note that the Jacobson radical of a ring R[x; D] in the case when R has no nil ideals was investigated by P. Grzeszczuk and J. Bergen [9]. For other results on such rings, see [18,31]. Interesting results in the case where R is a polynomial identity ring were obtained by J.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 86%

How far can we go with Amitsur’s theorem in differential polynomial rings?

Smoktunowicz

2017

Isr. J. Math.

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Abstract. A well-known theorem by S.A. Amitsur shows that the Jacobson radical of the polynomial ring R[x] equals I[x] for some nil ideal I of R. In this paper, however, we show that this is not the case for differential polynomial rings, by proving that there is a ring R which is not nil and a derivation D on R such that the differential polynomial ring R[x; D] is Jacobson radical.We also show that, on the other hand, the Amitsur theorem holds for a differential polynomial ring R[x; D], provided that D is a locally nilpotent derivation and R is an algebra over a field of characteristic p > 0. The main idea of the proof introduces a new way of embedding differential polynomial rings into bigger rings, which we name platinum rings, plus a key part of the proof involves the solution of matrix theory-based problems.

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“…No caso em que L = k · x é uma álgebra de Lie unidimensional, temos que R * U (L) = R[x; δ], onde δ(r) = [x, r] é a ação de x ∈ L em r ∈ R. Segue, portanto, que o Teorema de Amitsur vale se uma das condições anteriores for satisfeita. Em 2015, A. Smoktunowicz provou que se R é uma álgebra sobre um corpo de característica positiva e δ é uma derivação fr R localmente nilpotente, ou seja, se para todo r ∈ R existir um inteiro positivo n tal que δ n (r) [TWC07] provaram que o problema tem resposta afirmativa em alguns casos particulares, dentre eles quando R é um anel PI ou quando R satisfaz a condição de cadeia ascendente sobre os anuladores à direita de seus subconjuntos unitários. Recentemente, outras condições suficientes foram provadas em [BG12] e [NI14].…”

Section: Introductionunclassified

O radical de Jacobson de anéis de polinômios diferenciais

Filho¹,

dos²

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Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 28/08/2015. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.Comissão Julgadora:• Prof a . Dr a . Lucia Satie Ikemoto Murakami (orientadora) -IME-USP• Prof. Dr. Ivan Shestakov -IME-USP• Prof. Dr. Plamen Kochloukov -IMECC-UNICAMP AgradecimentosGostaria de agradecer a Universidade de São Paulo e, em particular, ao Instituto de Matemática e Estatística da USP, por possibilitar o desenvolvimento deste trabalho. Também gostaria de agradecer a CAPES e o CNPq, pelo financiamento durante o mestrado.A comissão julgadora, por aceitar prontamente o convite. Em particular, gostaria de agradecer imensamente minha orientadora, Lucia Murakami, cujos conselhos têm me ensinado sobre matemática e sobre ser uma pessoa melhor. Também gostaria de agradecer ao professor Ivan Shestakov, pelas sugestões a este trabalho.Aos meus pais, Marilete e Gilson, meus primeiros professores que me ensinaram as mais valiosas lições. Aos meus irmãos, Ana Paula e Felipe, por todo o carinho e todo o apoio, sobretudo nos tempos mais difíceis.Aos meus amigos, por toda a paciência comigo. Em particular, Junior (obrigado por todo o apoio e pela força), Maria, André Porto, Carla, Éverton, Fabiana, Kaíque, Antônio, Bartira, Luciana, David, Ana Luiza, Danilo, Elias, Rebecca, Luiza, Mathias, Elisa, Felipe, Talita, Marcelo, Bruna, Cíntia, Ana Carolina, Anor, Gabi, aos colegas da pós-graduação, aos colegas do apartamento 304. O objetivo desta dissertação é estudar o radical de Jacobson de anéis de polinômios diferenciais. Mostramos um resultado de M. Ferrero, K. Kishimoro, K. Motose, que mostra que no caso geral, o radical de um anel de polinômios diferenciais é um anel de polinômios diferenciais sobre algum ideal do anel dos coeficientes. Assumindo que o anel dos coeficientes satisfaça uma identidade polinomial, mostramos seguindo B. Madill que este ideal é um ideal nil. Se o anel dos coeficientes é adicionalmente localmente nilpotente, seguindo J. Bell, B. Madill, F. Shinko, mostramos que o anel de polinômios diferenciais será localmente nilpotente. Ainda seguindo J. Bell et al, se o anel dos coeficientes é uma álgebra sobre um corpo de característica zero e tal álgebra satisfaz uma identidade polinomial, mostramos que o ideal nil é o radical de Köthe. Para tais demonstrações, cobriremos os tópicos preliminares necessários para entender os enunciados: radical nil, radical de Levitzki, radical de Baer, radical de Jacobson e propriedades, anéis PI, polinômios centrais, teorema de Kaplansky.Palavras-chave: radical de Jacobson, anéis de polinômios diferenciais, anéis PI. The aim of this work is to study the Jacobson radical of differential polynomial rings. We show a result of M. Ferrero, K. Kishimoto, K. Motose, which shows that in general, the radical of a differential polynomial ring is a differential polynomial ring over some ideal of the ri...

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Jacobson Radicals of Ore Extensions of Derivation Type

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How far can we go with Amitsur’s theorem in differential polynomial rings?

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