Key exchange based on Dickson polynomials over finite field with 2m

Abstract

<p class="Abstract">Give a survey of the important properties of Dickson polynomial Dn(x,1), and prove that Dickson polynomial  Dn(x,1) over finite field with 2m is a permutation polynomial if and only  if  n is odd. Use this fact to construct a new key agreement protocol which is secure, feasible and extensible.</p&gt

A Novel Collocation Method Based on Residual Error Analysis for Solving Integro-Differential Equations Using Hybrid Dickson and Taylor Polynomials

“…Permutation and Dickson polynomials are widely used in mathematics, integer rings (Fernando 2013), finite fields (Bhargava et al 1999), key cryptography (Wei et al 2011), algebraic and number-theory (Stoll 2007). Dickson polynomials are denoted as D n (x, α) and were introduced by Dickson (1896).…”

Cifrado de datos e intercambio de claves utilizando polinomios de Dickson

“…, p er−1 (p 2 r − 1) ) = 1. Tal resultado demuestra la falsedad del teorema 2 que se presenta en [28], el cual afirma que D n (x, 1) es un polinomio de permutación módulo 2 m , m ≥ 2 si y sólo si n es impar, como lo muestra el ejemplo 5. Además una consecuencia del teorema 2.12 es que el polinomio de Dickson D n (x, 1) es un polinomio de permutación módulo 2 m , m ≥ 2 si y sólo si n es impar y no es múltiplo de 3, lo que caracteriza a los polinomios de Dickson que son de permutación módulo 2 m .…”

“…También en [28] se afirma que si 1 ≤ n ∈ Z y D n (x, 1) es un polinomio de permutación módulo 2 m , entonces D n+2 (x, 1) es polinomio de permutación módulo 2 m . Por lo dicho en el párrafo anterior D 7 (x, 1) es polinomio de permutación módulo 2 m pero D 9 (x, 1) no lo es, por lo tanto el lema 3.3 del artículo [28] es falso.…”

“…También en [28] se afirma que si 1 ≤ n ∈ Z y D n (x, 1) es un polinomio de permutación módulo 2 m , entonces D n+2 (x, 1) es polinomio de permutación módulo 2 m . Por lo dicho en el párrafo anterior D 7 (x, 1) es polinomio de permutación módulo 2 m pero D 9 (x, 1) no lo es, por lo tanto el lema 3.3 del artículo [28] es falso. Se le añadieron algunas condiciones al enunciado de este resultado obteniendo el lema 2.6, que se expresa de la siguiente manera: sea k un entero positivo impar, si D k (x, 1) es un polinomio de permutación módulo…”

“…El intercambio de claves de forma segura en un canal inseguro es uno de los problemas importantes de la criptografía. En el presente escrito se estudia un protocolo similar al que se describe en [28] también basado en polinomios de Dickson. Se le hicieron las adecuaciones pertinentes a los resultados que se obtuvieron relacionados a polinomios de permutación de Dickson y a la función SHA-3, función hash estándar actualmente.…”