Koszul property for points in projective spaces

Conca, Aldo; Trung, Ngô Viêt; Valla, Giuseppe

doi:10.7146/math.scand.a-14338

Cited by 53 publications

(96 citation statements)

References 6 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…If c = 0, then by rescaling t 1 we may assume c = 1. Using the weight ω (8) (see Table 4), one gets that in ω (8) (8) (I) is the Koszul algebra (10) in Table 2, S/I is Koszul too. If c = 0, then we may assume after rescaling t 1 that a = 1.…”

Section: The Rank Of Q Ismentioning

confidence: 99%

The Koszul property for spaces of quadrics of codimension three

D’Alì¹

2017

Journal of Algebra

View full text Add to dashboard Cite

A b s t r ac t . In this paper we prove that, if k is an algebraically closed field of characteristic different from 2, almost all quadratic standard graded k-algebras R such that dim k R 2 = 3 are Koszul. More precisely, up to graded k-algebra homomorphisms and trivial fiber extensions, we find out that only two (or three, when the characteristic of k is 3) algebras of this kind are non-Koszul.Moreover, we show that there exist nontrivial quadratic standard graded kalgebras with dim k R 1 = 4, dim k R 2 = 3 that are Koszul but do not admit a Gröbner basis of quadrics even after a change of coordinates, thus settling in the negative a question asked by Conca. I n t ro d u c t i o nA (commutative) standard graded algebra R over a field k is a quotient of a polynomial ring over k in a finite number of variables by a homogeneous ideal I not containing any linear form. We say that R is Koszul when the minimal graded free resolution of k as an R-module is linear: for a survey about Koszulness in the commutative setting, see [7]. It is well-known that any Koszul algebra is quadratic, i.e. its defining ideal I is generated by quadrics. Note that, if R is a trivial fiber extension, i.e. it contains a linear form ∈ R 1 such that R 1 = 0, then R is Koszul if and only if R/ is Koszul.For the rest of this introduction, let R be a quadratic standard graded k-algebra, where k is an algebraically closed field of characteristic different from two. Backelin proved in [1] that, if dim k R 2 = 2, then R is Koszul (this actually holds for any field k). Conca then proved in [5] that, if dim k R 2 = 3 and R is Artinian, then R is Koszul. The main problem we are addressing in this paper is to find out what happens when, in the latter case, we drop the Artinian assumption. We will prove in Theorem 3.1 that, up to trivial fiber extension, the only non-Koszul algebras live in embedding dimension three. More precisely, these non-Koszul algebras in three variables are the two (or three, when char k = 3) objects exhibited by Backelin and Fröberg in [2]. As a byproduct, we shall also obtain a list of all possible Hilbert series when dim k R 2 = 3, see Theorem 3.3.Our results are in agreement with the numerical data presented by Roos in the characteristic 0 four-variable case, see [15].

show abstract

Section: The Rank Of Q Ismentioning

confidence: 99%

The Koszul property for spaces of quadrics of codimension three

D’Alì¹

2017

Journal of Algebra

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Коммутативные алгебры с аналогичными свойствами (так называемые алгебры c козюлевыми фильтрациями) изучались в ряде работ [1][2][3][4][5][6]. Здесь рассматри-вается некоммутативная версия этого понятия.…”

Section: Introductionunclassified

“…Это понятие введено и изучено в ряде статей Конки и др. [1,2,4]. Показано, в частности, что многие квадратичные алгебры, естественным образом возникающие в алгебра-ической геометрии (такие, как координатные кольца канонических вложений общих проективных кривых и проективных вложений абелевых многообразий), содержат козюлевы фильтрации.…”

Section: Introductionunclassified

Козюлевы Алгебры И Их Идеалы

Пионтковский¹

2005

Функц. анализ и его прил.

View full text Add to dashboard Cite

Функциональный анализ и его приложения 2005, т. 39, вып. 2, с. 47-60 УДК 512.66 Козюлевы алгебры и их идеалы * c 2005. Д. И. Пионтковский ВведениеГрадуированная порожденная в первой степени ассоциативная алгебра R над полем k называется козюлевой 1) , если k как R-модуль обладает линейной сво-бодной резольвентой. R-модуль M R называется козюлевым, если он также об-ладает линейной свободной резольвентой.Мы изучаем здесь алгебры с более сильным свойством, чем козюлевость: грубо говоря, это алгебры, у которых много циклических козюлевых модулей. Коммутативные алгебры с аналогичными свойствами (так называемые алгебры c козюлевыми фильтрациями) изучались в ряде работ [1][2][3][4][5][6]. Здесь рассматри-вается некоммутативная версия этого понятия.Циклический правый R-модуль M = R/J козюлев в том и только том слу-чае, когда его идеал соотношений J порожден линейными формами и является козюлевым модулем. Это означает, что вместо циклических козюлевых моду-лей можно изучать порожденные в первой степени козюлевы идеалы. Цепочкупорожденных линейными формами, назовем козюлевым флагом, если каждый идеал I j является козюлевым модулем. Каждая алгебра R, обладающая козю-левым флагом, козюлева, и все козюлевы алгебры наиболее важного класса -PBW-алгебры (или алгебры Пуанкаре-Биркгофа-Витта [7]) -содержат козю-левы флаги (теорема 1.4).В случае когда алгебра R коммутативнa, известна конструкция, которая поз-воляет найти в этой алгебре козюлев флаг (и доказать тем самым, что она козюлева): эта конструкция называется козюлевой фильтрацией. Это понятие введено и изучено в ряде статей Конки и др. [1,2,4]. Показано, в частности, что многие квадратичные алгебры, естественным образом возникающие в алгебра-ической геометрии (такие, как координатные кольца канонических вложений общих проективных кривых и проективных вложений абелевых многообразий), содержат козюлевы фильтрации. Главная цель данной статьи -обобщить эту теорию на некоммутативные алгебры.Итак, множество F правых идеалов в R, порожденных линейными формами, называется козюлевой фильтрацией, если 0 ∈ F, R ∈ F и для любого идеала 0 = I ∈ F существуют I = J ∈ F, x ∈ R 1 , такие, что I = J + xR и идеал * Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис-следований, проект 02-01-00468.1) В русской литературе также встречается название кошулева алгебра, происходящее от другой транскрипции фамилии французского математика Ж. Л. Козюля (J. L. Koszul).

show abstract

“…One of them is the concept of Koszul filtration. This notion, introduced in [6], was inspired by the work of Herzog, Hibi and Restuccia ( [9]) on strongly Koszul algebras. Let us first recall the standard definition of Koszul filtration.…”

Section: Koszul Modulesmentioning

confidence: 99%

“…One of them is the existence of a special filtration called Koszul filtration which is introduced by Conca, Trung and Valla ( [6]). Roughly speaking, a Koszul filtration for an algebra R is a family of ideals of R generated by linear forms such that any ideal of the family can be filtered in such a way that all the successive colon ideals belong to the family.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

On the Regularity and Koszulness of Modules Over Local Rings

Maleki

2014

Communications in Algebra

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. Koszul modules over Noetherian local rings R were introduced by Herzog and Iyengar and they possess good homological properties, for instance their Poincare' series is rational. It is an interesting problem to characterize classes of Koszul modules. Following the idea traced by Avramov, Iyengar and Sega, we take advantage of the existence of special filtration on R for proving that large classes of R-modules over Koszul rings are Koszul modules. By using this tool we reprove and extend some results obtained by Fitzgerald.

show abstract

Koszul property for points in projective spaces

Cited by 53 publications

References 6 publications

The Koszul property for spaces of quadrics of codimension three

The Koszul property for spaces of quadrics of codimension three

Козюлевы Алгебры И Их Идеалы

On the Regularity and Koszulness of Modules Over Local Rings

Contact Info

Product

Resources

About