Kummer theory for products of one-dimensional tori

Abstract

Let T be a finite product of one-dimensional tori defined over a number field K. We consider the torsion-Kummer extension K(T [nt], 1 n G), where n, t are positive integers and G is a finitely generated group of K-points on T . We show how to compute the degree of K(T [nt], 1 n G) over K and how to determine whether T is split over such an extension. If K = Q, then we may compute at once the degree of the above extensions for all n and t.Résumé. -(La théorie de Kummer pour les produits de tores de dimension un) Soit T un produit fini de tores de dimension un sur un corps de nombres K. Nous considérons l'extension de torsion-Kummer K(T [nt], 1 n G), où n, t sont des entiers strictement positifs et G un groupe de type fini engendré par des K-points de T . Nous montrons comment l'on peut calculer le degré de K(T [nt], 1 n G) sur K. Nous montrons également comment déterminer si T est déployé sur une telle extension. Lorsque K = Q, nous pouvons calculer en une seule fois les degrés de toutes les extensions ci-dessus pour tous les n et tous les t.