Laplace-type exact asymptotic formulas for the Bogoliubov Gaussian measure

Abstract

We obtain new asymptotic formulas for two classes of Laplace-type functional integrals with the Bogoliubov measure. The principal functionals are the L p functionals with 0 < p < ∞ and two functionals of the exact-upper-bound type. In particular, we prove theorems on the Laplace-type asymptotic behavior for the moments of the L p norm of the Bogoliubov Gaussian process when the moment order becomes infinitely large. We establish the existence of the threshold value p0 = 2 + 4π 2 /β 2 ω 2 , where β > 0 is the inverse temperature and ω > 0 is the harmonic oscillator eigenfrequency. We prove that the asymptotic behavior under investigation differs for 0 < p < p0 and p > p0. We obtain similar asymptotic results for large deviations for the Bogoliubov measure. We establish the scaling property of the Bogoliubov process, which allows reducing the number of independent parameters.

Gaussian Ornstein-Uhlenbeck and Bogoliubov processes: Asymptotics of small deviations for L p -functionals, 0 < p < ∞

“…In particular, of great theoretical and practical interest is the problem of approximate evaluation of distributions of such functionals as 1 0 |x(t)| p dt, 0 < p < ∞ (which we refer to as the L p -functional), sup 1] |x(t)|, etc. In [14][15][16][17][18][19], based on various modifications of the Laplace method in functional spaces, approximate (asymptotic) formulas for these distributions are obtained in the regions of large and small values (see also [20]). …”

Моменты отрицательной степени для $L^p$-функционалов от винеровских процессов: точные асимптотики

“…4, п. 5], [9], [10]). Точные вычисления указанных моментов -это, как пра-вило, чрезвычайно сложная задача, поэтому значительный теоретический и практический интерес представляют приближенные и асимптотические фор-мулы.…”

“…Естественно, задачи 1-4 представляют интерес и в случае однородных мар-ковских процессов с траекториями, интегрируемыми в p-й степени п. н. В на-стоящее время наиболее эффективным методом решения задач типа 1 (в случае гауссовских процессов) и типа 4 (в случае однородных марковских процессов) является метод Лапласа для функциональных интегралов, развитый в рабо-тах [9], [10], [15]- [19]. Этот метод представляет собой бесконечномерный ана-лог обычного одномерного метода Лапласа.…”

“…Отметим, что для автомодельного гауссовского процесса решение задачи 1 влечет за собой решение задачи 3, а для автомодельного однородного марковского процесса решение задачи 2 вле-чет за собой решение задачи 4. Задачи 1, 3 решены в [9] для винеровского процесса и броуновского моста, задача 1 решена в [10] для так называемого гауссовского процесса Боголюбо-ва, имеющего важное значение в статистической физике (см. [7]).…”

Precise asymptotics for large deviations of integral forms

“…The general precise asymptotics can't be obtained due to the lack of tools which will be explained below, see [13] and [44]. Ellis and Rosen in 1980s derived precise asymptotics in the form (1.3) for Gaussian probability measures by suitable technical arguments based on Hilbert spaces, see [16], [17], [18], [36] and [23].…”