Le problème de la définition de l’aire d’une surface gauche: Peano et Lebesgue

Applications of Clifford ratios unaffected by the local Schwarz paradox

“…always exists when is strongly differentiable 7 at 0 , and it is equal to the gradient ∇ ( 0 ). Moreover, we show in Proposition 1 that the vector ( , , , ) , corresponding to the Clifford ratio ( , , ) Δ ( , , ) −1 , can always be written as a sum of quotients between numbers (as numerators) and vectors (as denominators), strongly resembling the scalar difference quotients; more precisely, we will prove that…”

Algorithms, unaffected by the Schwarz paradox, approximating tangent planes and area of smooth surfaces via inscribed triangular polyhedra

“…approximate the area of portions of the surface s from every sequence of inscribed triangular 7 polyhedra uniformly convergent to that portion 8 . In particular, we apply Algorithm (6.4) to the triangulation of a circular cylinder of the famous Schwarz 9 area paradox 10 , showing that the approximating inscribed balanced mean bivectors 11 do converge to the tangent bivectors without any restriction of the approximating triangular mesh.…”

“…Thus, Algorithms (6.4) and (6.7) restore many of the analogies between curves and surfaces. 18 Suggested readings are [8], [3], [19] and [20]. 19 Giuseppe Peano (1858Peano ( -1932.…”

“…. Notice that the one-dimensional subspace G ( 3 0 ) (that we identified with R) has the usual product between real numbers as the restriction of the scalar product in G 3 α1 • β1 = αβ = α1 β1 , while 8 Or, simply, exterior product. 9 Up to isometries and orientation.…”

Stefan Kempisty (1892-1940)

“…Wpisywane wielościany miały trójkątne ściany i ich rzuty na płaszczyznę xy były wymienionymi wcześniej trójkątami T 1 i T 2 . Kempisty pokazał, że wprowadzenie funkcji trójkąta pozwoliło na rozszerzenie klas powierzchni, do których stosuje się jego metoda (nazywana metodą triangulacji).Kempisty kontynuował swoje rozważania w pracy[K42], która dotyczyła pola Lebesgue'a A(S) powierzchni S danej równaniami parametrycznymix = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), gdzie podane funkcje są ciągłe na kwadracie Q : 0 u, v 1 i mają pochodne cząstkowe prawie wszędzie w Q. Rezultaty Kempistego [K35], [K38], [K40] -[K42] zostały zauważone w książkach (chronologicznie): Saksa [72], Radó [70] i Cesari [17] oraz w pracach: Frécheta [23], Toralballa[81], Alperta-Toralballa[3] i Grandona-Perrina[24]. Przestrzenie Kempistego.…”