Les algèbres de Heyting et de Lukasiewicz trivalentes.

Abstract

Rappelons les definitions et les resultats que nous aurons a utiliser par la suite.La notion de reticule" distributif peut etre definie avec M. Sholander [27] comme un systeme (A, Λ, v) forme par un ensemble non vide A et deux operations binaires Λ, V definies sur A, qui verifient les axiomes (pour tout x, y, z de A):Rappelons maintenant la dέfinition d'algebre de Morgan.2.1 DEFINITION. Un systeme <& = (A, 1, ~, Λ, V) forme par un ensemble non vide A, un έlέment leA, une operation monaire ~ et deux operations binaires Λ, V dέfinies sur A sera dit une algebre de Morgan si les axiomes suivants sont υέrifie's (pour tout x, y, z άe A):Nous dirons aussi pour abreger que <Ά est une algebre de Morgan. On voit de suite que dans une algebre de Morgan on a ~ (?c v y) = ~ x Λ ~yEn outre: 1 est le dernier element et 0 = ~ 1 est le premier element de ^. Une algebre de Morgan sera dite normale (J. Kalman [8]) ou lineaire [19] si quels que soient x ety A6) (#Λ~#)Λ(;yv~;y) = #Λ~# Nous avons a utiliser le resultat suivant obtenu par A. Monteiro. La demonstration de cet auteur a έte reproduite dans [2]. Nous indiquons ici une demonstration plus simple: 2.2 LEMME. Si z est un element d'une algebre de Morgan normale ayant un complέment boolέen -z alors -z = ~ z. DEM: Par hypothese nous avons: (1) z v -z = 1; (2) z A -z = 0 De (1) et (A5) on deduit: (3) ~z A -(-z) = 0. Par la normalite de l'algebre, (2) et (3), nous pouvons ecrire: ZA~Z = (ZA~Z)A ((-Z) v ~ (-z)) = (ZA~ZA-Z)V(ZA~ZA~ (-z)) = (~£Λθ)v(<rΛθ) = OvO = O

Defining rough sets as core-support pairs of three-valued functions

“…Following A. Monteiro [Mon63], we can define a three-valued Lukasiewicz algebra as an algebra (L, ∨, ∧, ∼, ▽, 0, 1) such that (L, ∨, ∧, ∼, 0, 1) is a De Morgan algebra and ▽ is an unary operation, called the possibility operator, that satisfies the identities:…”

“…It is proved by Monteiro in [Mon63] that every three-valued Lukasiewicz algebra forms a Kleene algebra. Note that x ∧ ∼x ≤ u ≤ y ∨ ∼y for x, y ∈ 3.…”

Maximal Subalgebras of MVn-algebras. A Proof of a Conjecture of A. Monteiro

“…These algebras were deeply investigated by A. Monteiro in the early sixties, who related them with other algebras arising from logic, like monadic Boolean algebras and Nelson algebras [17,18,19,20,21].…”

Several characterizations of the 4--valued modal algebras

“…Let A, ∧, ∨, * , +, 0, 1 be an algebra of type (2, 2, 1, 1, 0, 0) where A, ∧, ∨, 0, 1 is a bound distributive lattice with least element 0, greatest element 1 and the following properties are satisfied: (V1) x ∧ x * = 0, (V2) (x ∧ y) * = x * ∧ y * , (V3) 0 * = 1, (V4) x ∨ x + = 1, (V5) (x ∨ y) + = x + ∧ y + , (V6) 1 + = 0, (V7) if x * = y * and x + = y + then x = y. About these algebras he proved that it is posible to define, in the sense of [14,15] a structure of three-valued Lukasiewicz algebra by taking ∼x = (x ∨ x * ) ∧ x + and ▽x = x * * .…”