Les<i>θ</i>-régulateurs locaux d'un nombre algébrique : Conjectures<i>p</i>-adiques

Gras, Georges

doi:10.4153/cjm-2015-026-3

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“…Si n ≥ e, la surjection devient l'isomorphisme : [13], [36], [39]), on a évidemment λ = µ = ν = 0 ; ceci s'applique par exemple au corps cubique étudié dans [53] pour p = 5. On trouvera dans [19] une étude détaillée des régulateurs p-adiques qui représentent le facteur crucial puisque Cℓ k est non trivial uniquement pour un nombre fini de p tandis que c'est seulement conjecturé pour R k .…”

Section: Groupe De Torsion De La P-ramificationunclassified

“…-Cette heuristique (même imparfaite) montre la légitimité de la conjecture de Greenberg mais aussi que la n-suite des # Cℓ kn est probablement très rapidement stationnaire, ce qui est plutôt un élément favorable pour une approche plus analytique. Il semble en effet difficile de trouver des arguments théoriques qui "obligeraient" les classes des normes N kn/k (A) d'idéaux aléatoires A de k n à ne pas se répartir uniformément dans Cℓ k , ou les δ p (x) des quotients de Fermat des x ∈ k × à ne pas suivre des lois binomiales reposant sur la probabilité de nullité en 1 − 1 p (voire encore plus proches de 1 comme nous l'avons longuement analysé dans [18] et [19] pour les nombres algébriques en général). Voir à ce sujet [22] qui établit déjà la répartition uniforme des quotients de Fermat des entiers rationnels et qui est probablement générale.…”

Section: Heuristiques Sur Les Filtrations Dans K ∞ /Kunclassified

“…On peut donc se demander si une aproche de type transcendance p-adique ne serait pas mieux adaptée puisque c'est l'une des voies démontrant quelques cas non triviaux de la conjecture de Leopoldt. Tout ceci est aussi lié à un point de vue différent qui est celui de fixer le corps k et de faire tendre p vers l'infini, auquel cas un cadre conjectural padique analogue [19,Section 7] conduirait à la p-rationalité de k pour tout premier p ≫ 0, donc à la conjecture de Greenberg pour laquelle on aurait λ p = µ p = ν p = 0 indépendamment de toute technique d'Iwasawa.…”

Section: Heuristiques Sur Les Filtrations Dans K ∞ /Kunclassified

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Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Gras¹

2017

Annales Mathématiques Blaise Pascal

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cedramArticle mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Annales mathématiques Blaise Pascal 24, 235-291 (2017) Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels Georges Gras RésuméSoit k un corps de nombres totalement réel et soit k∞ sa Zp-extension cyclotomique pour un premier p > 2. Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d'Iwasawa λ, µ, lorsque p est totalement décom-posé dans k, et nous obtenons d'importantes tables de corps quadratiques et p pour lesquels on peut conclure que λ = µ = 0. Nous montrons que le nombre de p-classes ambiges de kn (n-ième étage dans k∞) est égal à l'ordre du groupe de torsion T k du groupe de Galois de la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale de k (Théorème 4.7), pour tout n ≥ e, où p e est l'exposant de U * k /E k (en termes d'unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille (Λ n i ) 0≤i≤mn de sous-groupes de k × contenant E k , dans lesquels tout x est norme d'un idéal de kn. Cette famille est attachée à la filtration classique du p-groupe des classes de kn définissant l'algorithme de calcul de son ordre en mn pas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que mni , pour p | p, de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dans k × . Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu'ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à T k quel que soit n, suggérant que λ = µ = 0 (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultats p-adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute ré-férence à la seule théorie d'Iwasawa algébrique. G. Gras p-adic approach of Greenberg's conjecture for totally real fieldsAbstract Let k be a totally real number field ant let k∞ be its cyclotomic Zp-extension for a prime p > 2. We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants λ, µ, when p totally splits in k, and we obtain important tables of quadratic fields and p for which we can conclude that λ = µ = 0. We show that the number of ambiguous p-classes of kn (nth stage in k∞) is equal to the order of the torsion group T k , of the Galois group of the maximal Abelian p-ramified pro-pextension of k (Theorem 4.7), for all n ≥ e, where p e is the exponent of U * k /E k (in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley's formula using a family (Λ n i ) 0≤i≤mn of subgroups of k × containing E k , in which any x is norm of an ideal of kn. This family is attached to the classical filtration of the p-class group of kn defining the algorithm of computation of its order in mn steps. From this, we prove (Theorem 6.3) that mn ≥ (λ·n+µ·p n +ν)/vp( # T k ) and that the condition m...

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Section: Groupe De Torsion De La P-ramificationunclassified

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Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Gras¹

2017

Annales Mathématiques Blaise Pascal

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“…On en déduit l'heuristique suivante reposant sur le fait que les probabilités sont inférieures aux densités correspondantes (i.e., lorsque a est remplacé par la variable aléatoire A ∈ N) : pour a fixé et p arbitraire assez grand, on a la majoration : Prob q p (a) = 0 < En toute hypothèse, on peut envisager que la probabilité de nullité de q p (a) (pour a fixé et p → ∞) est strictement inférieureà 1 p et que la conjecture sur la finitude des premiers p tels que q p (a) = 0 reste crédible (conjecture qui est un cas particulier des conjectures analogues que nous avons formulées dans le cadre général des régulateurs p-adiques d'un nombre algébrique, cf. [3]). .…”

Section: Introductionunclassified

Étude probabiliste des quotients de Fermat

Gras¹

2016

Funct. Approx. Comment. Math.

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For a fixed integer a ≥ 2, we suggest that the probability of nullity of the Fermat quotient qp(a) is much lower than 1 p for any arbitrary large prime number p. For this we use various heuristics, justified by means of numerical computations and analytical results, which may imply the finiteness of the qp(a) equal to 0 and the existence of integers a such that qp(a) = 0 ∀p. However no proofs are obtained concerning these heuristics.

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“…(iv) # R + K is the main p-adic invariant which may be nontrivial for much primes p, even if we have conjectured in [24] that it is trivial for all p large enough;…”

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confidence: 98%

Genus theory and ε-conjectures on p-class groups

Gras¹

2020

Journal of Number Theory

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We suspect that the "genus part" of the class number of a number field K may be an obstruction for an "easy proof" of the classical p-rank ε-conjecture for p-class groups and, a fortiori, for a proof of the "strong ε-conjecture": # (CℓK ⊗Zp) ≪ d,p,ε ( √ DK ) ε for all K of degree d. We analyze the weight of genus theory in this inequality by means of an infinite family of degree p cyclic fields with many ramified primes, then we prove the p-rank ε-conjecture: # (CℓK ⊗Fp) ≪ d,p,ε ( √ DK ) ε , for d = p and the family of degree p cyclic extensions (Theorem 2.5) then sketch the case of arbitrary base fields. The possible obstruction for the strong form, in the degree p cyclic case, is the order of magnitude of the set of "exceptional" p-classes given by a well-known non-predictible algorithm, but controled thanks to recent density results due to Koymans-Pagano. Then we compare the ε-conjectures with some p-adic conjectures, of Brauer-Siegel type, about the torsion group TK of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of totally real number fields K. We give numerical computations with the corresponding PARI/GP programs.

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Lesθ-régulateurs locaux d'un nombre algébrique : Conjecturesp-adiques

Abstract: Abstract. Let K Q be Galois and let η ∈ K × be such that Reg ∞ (η) ≠ . We de ne the local θ-regulators ∆

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Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

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Étude probabiliste des quotients de Fermat

Genus theory and ε-conjectures on p-class groups

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