Level-$δ$ limit linear series

Abstract

We introduce the notion of level-δ limit linear series, which describe limits of linear series along families of smooth curves degenerating to a singular curve X. We treat here only the simplest case where X is the union of two smooth components meeting transversely at a point P . The integer δ stands for the singularity degree of the total space of the degeneration at P . If the total space is regular, we get level-1 limit linear series, which are precisely those introduced by Osserman [10]. We construct a projective moduli space G r d,δ (X) parameterizing level-δ limit linear series of rank r and degree d on X, and show that it is a new compactification, for each δ, of the moduli space of Osserman exact limit linear series, an open subscheme G r, * d,1 (X) of the space G r d,1 (X) already constructed by Osserman. Finally, we generalize [6] by associating to each exact level-δ limit linear series g on X a closed subscheme P(g) ⊆ X (d) of the dth symmetric product of X, and showing that P(g) is the limit of the spaces of divisors associated to linear series on smooth curves degenerating to g on X, if such degenerations exist. In particular, we describe completely limits of divisors along degenerations to such a curve X.

Morfismos de Abel, series lineales y sus límites sobre curvas

“…El estudio pionero acerca de lo que podría ser una serie lineal límite a lo largo de suavizaciones no-regulares fue de Cumino-Esteves-Gatto en [9] a partir de aplicar twist a fibrados, término introducido por Esteves en [15] en el estudio de la compactificación de la Jacobiana (relativa) en familias de curvas reducidas. Así, Esteves-Nigro-Rizzo motivados por el éxito de las ideas de Osserman y las de Cumino-Esteves-Gatto, construyen en [21] los espacios moduli G r d,δ (X) parametrizando series lineales límite de nivel-δ que corresponderían a la construcción de las sll a lo largo de suavizaciones con índice de singularidad δ y, así mismo, la construcción de los espacios que contienen los "límites" a lo largo de estas suavizaciones G r, * d,δ (X). A continuación se discutirán más detalles acerca esta construcción.…”

“…Z tiene rango (relativo) 1 y es (relativamente) libre de torsión sobre B (ver [9], p. 13). En realidad, a partir de la definición y explorando sus restricciones a la fibra especial se puede probar (ver [21]) que dado L un fibrado sobre X de bi-grado (d, 0) existe una colección de dδ + 1 fibrados libres de torsión y rango 1 sobre X determinados por las siguientes condiciones:…”

“…Para detalles más precisos ver [21]. Ahora, de la misma forma que en el caso de Osserman es posible construir una colección de 2dδ morfismos de fibrados (ver [21] o [48]) por restricción-inclusión con las adaptaciones naturales, entendiendo por esto que en el caso δ i los fibrados considerados no son fibrados vectoriales de dimensión 1, pero sí libres de torsión y de rango 1 como fueron definidos anteriormente. Precisamente, el diagrama a continuación…”

“…Son examinadas dos construcciones de límites de series lineales y sus espacios moduli: los de tipo Eisenbud-Harris [14] y los de tipo Osserman [42]. Adicionalmente, es presentada la relación de esta última construcción con las fibras de los morfismos de Abel [22] y así mismo la construcción de los límites del tipo Esteves-Nigro-Rizzo [20,21] que generalizan los dos tipos de límites anteriores. Finalmente, una breve digresión presenta los avances actuales y aspectos de futuros desarrollos relacionados a estas teorías y sus aplicaciones.…”

“…Also, we examine two constructions of limits of linear series and their moduli spaces: Eisenbud and Harris types [14] and Osserman types [42]. In addition, we discuss the relation of the latter construction with Abel maps [22] and we present a new limits construction: Esteves-Nigro-Rizzo types [20,21] which generalize Eisenbud-Harris and Osserman constructions. Finally, we give a brief overview on further works related to these theories and their applications.…”