Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition III – applications

Abstract

In the two previous Notes, we described the mathematical aspects of the potential-Hamiltonian (PH) decomposition, in particular for n-switches and Liénard systems. In the present Note, we give some examples of biological regulatory systems susceptible to be decomposed. We show that they can be modeled in terms of 2D-ODE belonging to n-switches and Liénard systems families. Although simplified, these models can be decomposed in a set of equations combining a potential and a Hamiltonian part. We discuss about the advantage of such a PH-decomposition for understanding the mechanisms involved in their regulatory abilities. We suggest a generalized algorithm to deal with differential systems having a second part of rational fraction type (frequently used in metabolic systems). Finally, we comment what can be interpreted as a precise signification in biological systems from the dynamical behaviors of both the potential and Hamiltonian parts. To cite this article: N. Glade et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). Résumé Systèmes de Liénard et décomposition potentielle-Hamiltonienne III -applications.Dans les deux Notes précédentes, nous avons décrit la décomposition potentielle-Hamiltonienne pour des systèmes de type n-switch ou Liénard. Leurs équations sont bien adaptées à la modélisation des systèmes dynamiques en biologie. Nous donnons ici des exemples de systèmes de régulation biologique pouvant être écrits sous la forme d'équations de Liénard et également sous forme de systèmes n-switch. Nous discutons ensuite de l'intérêt de connaître les contributions potentielles et Hamiltoniennes de ces systèmes dans la compréhension de leurs mécanismes. Pour terminer, nous suggérons un algorithme prenant en compte des systèmes différentiels à second membre de type fraction rationnelle rencontrés dans les modèles métaboliques, pour lesquels les parties potentielle et Hamiltonienne ont des significations biologiques précises. On explique comment utiliser en pratique cette décomposition au voisinage de leurs attracteurs. Pour citer cet article : N. Glade et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).Les systèmes de Liénard et les systèmes de type n-switch sont fréquemment utilisés pour modéliser des systèmes biologiques régulés, au niveau physiologique (système mono-organe comme le système cardiaque, respiratoire ou neural, et systèmes pluri-organes, comme le système végétatif, par couplage de systèmes de Liénard) ou au niveau moléculaire (processus morphogénétiques, où la composante n-switch représente la partie réactionnelle d'un système de diffusion-réaction). La décomposition potentielle-hamiltonienne [12,13] proposée pour traiter de tels systèmes permet de séparer leurs paramètres responsables de la bifurcation en régime oscillant en trois familles : l'une qui contrôle la période des oscillations (paramètres apparaissant dans la partie hamiltonienne), l'autre qui contrôle leur amplitude (paramètres apparaissant dans la partie potentielle), et la dernière qui contrôle à la fois la période et l'amplitude (paramèt...

The Isochronal Fibration: Characterization and Implication in Biology

“…The anharmonic pendulum (Demongeot et al 2007a, b;Glade et al 2007;Forest et al 2007), which is a particular kx-system (Murray 1993), is a typical case of symmetrical system whose isochrons are radially disposed (Fig. 4A).…”

“…This is due to the difficulty (coming from the absence of homogenous solution of the system) to solve them analytically. Demongeot et al (Demongeot et al 2007a, b;Glade et al 2007;Forest et al 2007) infer an analytical approximation of the isochrons based on a potential-Hamiltonian decomposition. The authors suggest that the isochronal fibration tends to fit the potential part of the flow when the Hamiltonian part is dominant, particulary in the neighbourhood of the attractor.…”

Biological Boundaries and Biological Age

“…We give in Fig. 12 below an example of 2D patterns obtained for a 3-switch implemented through a cellular automaton in which a cell i is surrounded by cells j's belonging to a neighborhood V(i) in which we have fixed the weights w ij following the Table 2, where the central cell i has the weight w ii maximum and the peripheral cells j have their weight w ij minimum (Demongeot 2007;Forest et al 2007;Glade et al 2007). Fig.…”

Synchrony in reaction–diffusion models of morphogenesis: applications to curvature-dependent proliferation and zero-diffusion front waves

“…if D n , χ and b are large, such as the system reaches rapidly its slow (u, v) manifold, we can decompose the two last equations of equation (9.1) in order to obtain a potential Hamiltonian system: ∂u/∂t = −∂P/∂u + ∂H /∂v, ∂v/∂t = −∂P/∂v − ∂H /∂u, with P = (k u u 2 + k v v 2 )/2 and H = c 1 n 2 u 2 log(1 + v) − c 2 nu 3 /3. Then, c 1 and c 2 (respectively, k u and k v ) can be considered as more frequency (respectively, amplitude) modulating parameters (Demongeot et al 2007b,c;Forest et al 2007;Glade et al 2007), and the synchronizability can be estimated by considering the isochrons landscape of the simplified system (Demongeot & Françoise 2006). , an inhibitor (BMP-2) (followed by chemical staining in (a(i)) and a close-up view of (a(i)) in (a(ii))) and a mediator (follistatine) (followed by chemical staining in (b(i)) and a close-up view of (b(i)) in (b(ii))) as morphogenes interacting at the genetic level (c), for giving first feather primordia (d(i)) and after adult feathers allowing the wheel of feathers in the peacock (d(ii)).…”