Limits of Mahler measures in multiple variables

Abstract

We prove that certain sequences of Laurent polynomials, obtained from a fixed multivariate Laurent polynomial P by monomial substitutions, give rise to sequences of Mahler measures which converge to the Mahler measure of P . This generalises previous work of Boyd and Lawton, who considered univariate monomial substitutions. We provide moreover an explicit upper bound for the error term in this convergence, extending work of Dimitrov and Habegger, and a full asymptotic expansion for a family of 2-variable polynomials, whose Mahler measures were studied independently by the third author.Résumé. -Nous prouvons que certaines suites de polynômes de Laurent, obtenues à partir d'un polynôme de Laurent P fixé par substitutions monomiales, donnent des suites de mesures de Mahler qui convergent vers la mesure de Mahler de P . Ce résultat généralisent des travaux antérieurs de Boyd et Lawton, qui considéraient des substitutions univariées. Nous obtenons aussi une borne supérieure explicite pour le terme d'erreur dans cette convergence, généralisant des travaux de Dimitrov et Habegger. Nous donnons enfin un développement asymptotique complet pour une famille particulière de polynômes bivariés, dont les mesures de Mahler avaient été étudiées indépendamment par la troisième autrice. d j=1 (z − α j ) for its complex factorisation, the product ∆ k (P ) = d j=1 (α k j − 1) is an integer for every k ∈ N. The case of the polynomial