Linear theory of wave generation by a moving bottom

Abstract

The computation of long wave propagation through the ocean obviously depends on the initial condition. When the waves are generated by a moving bottom, a traditional approach consists in translating the 'frozen' sea bed deformation to the free surface and propagating it. The present study shows the differences between the classical approach (passive generation) and the active generation where the bottom motion is included. The analytical solutions presented here exhibit some of the drawbacks of passive generation. The linearized solutions seem to be sufficient to consider the generation of water waves by a moving bottom. To cite this article: D. Dutykh et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006). RésuméThéorie linéaire de génération de vagues par mouvement du fond. Les calculs de propagation d'ondes longues à travers l'océan doivent naturellement être alimentés par la condition initiale. Le but de cette note est de montrer l'insuffisance de l'approche classique qui consiste à translater la déformation « gelée » du fond vers la surface libre et à la laisser se propager. Un calcul analytique qui met en évidence les inconvénients de l'approche classique de génération passive est présenté ici. Les solutions linéa-risées semblent être bien adaptées pour traiter la génération de vagues par mouvement du fond. Pour citer cet article : D. Dutykh et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).Le problème de la génération des tsunamis est un sujet relativement récent. L'un des pionniers dans ce domaine fut Hammack [3]. Le but de cette Note est d'apporter une contribution à ce problème. La condition initiale utilisée dans les codes de propagation des tsunamis est souvent obtenue en translatant à la surface libre la déformation du fond suite à un tremblement de terre. Cette approche présente plusieurs inconvénients. Tout d'abord la dynamique du processus de génération est négligée. Il est évident qu'un glissement lent ne produit pas des vagues de même amplitude qu'un 500 D. Dutykh et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) [499][500][501][502][503][504] glissement rapide. Ensuite le champ des vitesses initiales est également négligé. Nous présentons dans cette note un simple modèle de génération de tsunamis (voir [1] pour plus de détails).Le problème des ondes de surface est tout d'abord linéarisé (1)-(3) pour un fond qui a un mouvement prescrit (génération active). Il est résolu par la méthode des transformées de Laplace en temps et de Fourier en espace. En supposant que le mouvement du fond est instantané, on obtient pour la déformation de la surface libre η i (x, y, t) l'expression (10). Les vitesses peuvent également être calculées. Le problème des ondes de surface est ensuite linéarisé dans le cas où la déformation du fond est simplement translatée jusqu'à la surface libre (génération passive). Ce problème est différent du précédent. En effet, puisque le fond reste immobile en tout temps, la condition cinématique au fond devient (11). Par ailleurs, la condition initiale sur la surface libre devient η(x...

Dispersion of tsunamis: does it really matter?

“…While the first crest is very similar for the two dispersive simulations, we clearly observe effects of the over-representation of shorter-wave components in the former solution in the trailing crests. In a corresponding study Dutykh et al (2006) found larger differences for the leading crest, since they made the comparison at a much earlier time. The dispersion time, τ , in the figure is close to 0.5, the limit where dispersion effects should be taken into account according to Kajiura (1963).…”

Energy of tsunami waves generated by bottom motion

“…This is why it is valid to use the linearized water-wave equations. Dutykh et al (2006) and others showed that taking an instantaneous seabed deformation is not equivalent to instantaneously transferring the seabed deformation to the ocean surface, except in the framework of the linearized SWEs (very long waves). The difference comes from the vertical velocities and dispersion.…”

“…While the common practice in modelling tsunami generation consists in translating the initial sea bottom deformation to the water surface, thus neglecting all dynamical effects, we prefer to include some dynamics in the process in an effort to be closer to what happens in reality (Dutykh et al 2006). We construct the bottom motion by multiplying Okada's static solution z à OK ðx à ; y Ã Þ 1 by a function of time (Hammack 1973),…”

Modified shallow water equations for significantly varying seabeds

“…More precisely, we will investigate two cases of slow and fast uplifts of a portion of bottom. This simple situation has some important implications to tsunami genesis problems [23,33,58]. The physical domain and discretization parameters are inherited from the last section.…”