Linearity of artin groups of finite type

Abstract

Recent results on the linearity of braid groups are extended in two ways. We generalize the Lawrence Krammer representation as well as Krammer's faithfulness proof for this linear representation to Artin groups of finite type.

Sur les représentations de Krammer génériques

“…D'autre part, la représentation de Krammer et la preuve de sa fidélité a été généralisée, par Cohen et Wales [11] en types ADE, et par Digne [15] pour tous les types cristallographiques. Comme il s'agit essentiellement de la seule représentation de ces groupes dont la fidélité soit connue, son étude présente un intérêt particulier.…”

“…On suppose désormais k = C. Nous montrons ici que la monodromie de la représentation infinitésimale V est isomorphe sur K = C((h)) à la représentation de Krammer (généralisée) introduite dans [11], [10]. Comme le calcul de la monodromie est très délicat, on utilise la rigidité de certaines algèbres quotients des algèbres de groupe de certains groupes de réflexion (complexes) pour montrer que ces deux représentations sont isomorphes.…”

“…par fidélité de R, au moins si les paramètres q et t de [11] sont transcendants sur C et algébriquement indépendants, ce qui est le cas dès que m ∈ Q. Autrement dit, R plonge P dans le groupe 1+hM N (M) qui est non seulement résiduellement nilpotent mais aussi résiduellement nilpotent-sans-torsion, donc bi-ordonnable (cf. par exemple [37]).…”

“…Remarquons que les modèles matriciels de la représentation de Krammer permettent également d'obtenir ce dernier résultat, en posant un peu artificiellement q = e h et t = e mh pour m ∈ Q dans les modèles de [11] et en réduisant les formules modulo h. Nous renvoyons à [31] où nous avons utilisé cette méthode. …”

Noncrossing Partitions in Surprising Locations

“…These other groups are called finite-type Artin groups. See [9] or [13] for a proof of this extension or [10], [15], [16], or [17] for more about finite-type Artin groups.…”