Local extrema for Procrustes problems in the set of positive definite matrices

Calderón, Pablo Luis; Rios, Noelia Belén; Ruiz, Mariano Andrés

doi:10.1016/j.laa.2020.05.021

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“…Debido a la estrecha relación con el campo aplicado la teoría de marcos se encuentra en constante crecimiento hasta la actualidad. ix Descripción de los contenidos de la tesis Realizamos una concisa descripción de los resultados de esta tesis que principalmente provienen de los trabajos [22] [23] [24] [25] .…”

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Recuperación de fase, perturbación de marcos y un problema tipo Procusto

Calderón¹

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En esta tesis se presentan los resultados obtenidos en los problemas que derivaron del estudio del problema de recuperación de fase. En primer lugar, se estudian relaciones entre el gap entre subespacios cerrados y conjuntos de vectores que sean sucesiones de Riesz o sucesiones marcos. En particular, se prueba que una sucesión sea sucesión de Riesz es equivalente a que su operador grammiano esté acotado inferiormente por un múltiplo de la identidad. Luego, se estudia un caso particular de una clase de marcos para espacios de Hilbert, los denominados marcos woven. En este contexto se proveen de una caracterización de pares woven utilizando el ángulo entre subespacios y un resultado de perturbación. A continuación, se estudian los marcos de fusión bajo perturbaciones. Se prueban resultados de operadores de rango cerrado que involucran el módulo mínimo, el gap y el ángulo entre subespacios. Además, se especifican condiciones sobre los pesos del marco de fusión. Por último, se estudia un problema de Procusto, propuesto por Bhatia y Congedo, donde prueban que los mínimos se alcanzan en aquellas matrices que satisfacen una condición de conmutatividad. Se realizan los cálculos en la versión multiplicativa local de las desigualdades de Lidskii y se muestra que los mínimos locales resultan globales y no dependen de la norma unitariamente invariante empleada en el problema.

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