Localized solutions for the finite difference semi-discretization of the wave equation

Abstract

We study the propagation properties of the solutions of the finite-difference space semi-discrete wave equation on an uniform grid of the whole Euclidean space. We provide a construction of high frequency wave packets that propagate along the corresponding bi-characteristic rays of Geometric Optics with a group velocity arbitrarily close to zero. Our analysis is motivated by control theoretical issues. In particular, the continuous wave equation has the so-called observability property: for a sufficiently large time, the total energy of its solutions can be estimated in terms of the energy concentrated in the exterior of a compact set. This fails to be true, uniformly on the mesh-size parameter, for the semi-discrete schemes and the observability constant blows-up at an arbitrarily large polynomial order. Our contribution consists in providing a rigorous derivation of those wave packets and in analyzing their behavior near that ray, by taking into account the subtle added dispersive effects that the numerical scheme introduces. RésuméOnétudie les propriétés de propagation des solutions de l'équation des ondes semi-discretisée en espace par différences finies sur une grille uniforme dans tout l'espace euclidien. On réalise une construction de paquets d'ondes concentrésà haute fréquence qui se propagent le long des rayons bicaractéristiques de l'Optique Géométriqueà une vitesse de groupe arbitrairement petite. Notre analyse est motivée par la théorie du contrôle. Plus précisement, l'équation des ondes continue vérifie la propriété d'observabilité : pour un temps suffisament grand, l'énergie totale de ses solutions peutêtre estimée en fonction de l'énergie localiséeà l'extérieur d'un ensemble compact. Cette propriété n'est pas verifiée de manière uniforme par rapport au pas de discrétisation pour le schéma semidiscret pour un temps fini quelconque, si bien que la constante d'observabilité semi-discrète diverge avec un taux polynomial arbitraire. Nous donnons une construction précise de ces paquets d'ondes et decrivons l'effet dispersif rajouté que le schéma numérique génère autour du rayon de propagation. Dans cet article, on considère le problème de Cauchy associéà l'équation des ondes d-dimensionnelle semi-discretisée en espace par un schéma centré en différences finies dans un maillage uniforme. Nous avons deux objectifs. Le premier est de montrer l'éxistence de paquets d'ondes concentrés autour d'un nombre d'onde fixé a priori,à haute fréquence, propageant avec une vitesse de groupe arbitrairement petite autour des rayons bicharactéristiques du schéma semi-discret et donc peu visibles depuis le domaine d'observation. On déduit dans [3] que la constante d'observabilité semi-discrète diverge au moins d'une manière polynomiale arbitraire, et ce pour tout temps d'observabilité fini. Le deuxième objectif est de donner une forme asymptotique précise pour ces paquets d'ondes, de façonà mettre enévidence la dispersion numérique qui n'apparaît pas dans le modèle continu.Notre résultat complète la littérature exi...

The Wave Equation: Control and Numerics

“…High frequency wave packets may be used to show that the observability constant has to blow up at infinite order as h → (see [75], [76]). To do this it is sufficient to proceed as above but combining an increasing number of eigenfrequencies.…”

Nonlinear damped partial differential equations and their uniform discretizations

“…But for instance this assumption may fail for spectral methods (global polynomial approximation) in which sign conditions may not be preserved at the nodes of the scheme. The same remark applies to (31).…”

Exponential stability of a general slope limiter scheme for scalar conservation laws subject to a dissipative boundary condition

“…The group velocity of two consecutive high frequency modes tends to zero as the discretization parameter goes to zero which prevent from using Ingham's inequality. This makes the observation (at a finite fixed time) very difficult as the discretization get finer [24]. This is why it is primordial to add a non physical numerical viscosity in order to damp these high frequencies.…”