Lower bounds for the Dyadic Hilbert transform

Abstract

In this paper, we seek lower bounds of the dyadic Hilbert transform (Haar shift) of the form Xf L 2 (K) ≥ C(I, K) f L 2 (I) where I and K are two dyadic intervals and f supported in I. If I ⊂ K such bounds exist while in the other cases K I and K ∩ I = ∅ such bounds are only available under additional constraints on the derivative of f . In the later case, we establish a bound of the form Xf L 2 (K) ≥ C(I, K)| f I | where f I is the mean of f over I. This sheds new light on the similar problem for the usual Hilbert transform. Résumé Dans cet article, nous établissons des bornes pour la transformée de Hilbert dyadique (Haar shift) de la forme Xf L 2 (K) ≥ C(I, K) f L 2 (I) où I et K sont des intervalles dyadiques et f est à support dans I. Si I ⊂ K de telles bornes existent sans condition supplémentaire sur f alors que dans les cas K I et K ∩ I = ∅ une telle borne n'existe que si on impose une condition sur la dérivée de f . Dans le dernier cas nous établissons une borne de la forme Xf L 2 (K) ≥ C(I, K)| f I | où f I est la moyenne de f sur I. Ce travail permet ainsi une meilleure compréhension du problème similaire pour la transformée de Hilbert sur R.

A Remark on the Arcsine Distribution and the Hilbert transform

“…The proof is far from stable (in the sense that it is not clear how to establish arguments of this type for more general integral operators). The problem seems to be completely open for general integral operators (we refer to [11] for sharp results for the Laplace transform and the Fourier transform and to [8] for a dyadic model). When dealing with the Hilbert transform, the identity Hf L 2 (R) = f L 2 (R) suggests a rephrasing of the question: how does the Hilbert transform move the L 2 −mass of a function around?…”