Lower bounds for wrap-around L2-discrepancy and constructions of symmetrical uniform designs

Abstract

The wrap-around L 2 -discrepancy has been used in quasi-Monte Carlo methods, especially in experimental designs. In this paper, explicit lower bounds of the wrap-around L 2 -discrepancy of U-type designs are obtained. Sufficient conditions for U-type designs to achieve their lower bounds are given. Taking advantage of these conditions, we consider the perfect resolvable balanced incomplete block designs, and use them to construct uniform designs under the wrap-around L 2 -discrepancy directly. We also propose an efficient balance-pursuit heuristic, by which we find many new uniform designs, especially with high levels. It is seen that the new algorithm is more powerful than existing threshold accepting ones in the literature.

Theory and application of uniform designs

“…此后, Zhou 等 [20] [21] 针对二水平正规正交设计首次给出了 CD 的下界, Fang 等 [22] 得到了 二水平正规和非正规设计的 CD 的下界, Fang 等 [23] 给出了二水平设计的 CD 的改进下界, Chatterjee 等 [24] 给出了二水平设计的 CD 的更紧的下界, Fang 等 [25] 给出了二水平和四水平设计的 CD 的一个 下界, Elsawah 和 Qin [26] 给出了更紧的 CD 的下界. 对于可卷偏差, Fang 等 [22] 给出了二水平和三水 平的正规和非正规设计的 WD 的一个下界, Fang 等 [23] 给出了三水平设计的 WD 的更紧的下界, Fang 等 [27] 对于任意 q 水平 U-型设计提出了 WD 的一个下界, Fang 等 [28] 从不同的角度出发得到任意 q 水平设计的更好的 WD 的下界, Chatterjee 等 [29] 研究了二、三混合水平设计的 WD 的下界, 后来 Zhou 和 Ning [30] 研究了任意不同混合水平设计的 WD 的下界. 对于混合偏差, Zhou 等 [16] 给出了两 水平设计的 MD 的下界, Ke 等 [31] 给出了三水平设计的 MD 的下界, Elsawah 和 Qin [32] 给出二水平、 三水平和四水平设计的 MD 的下界, Elsawah 和 Qin [33] 还给出二、三混合水平的 MD 的下界.…”

“…为了便于均匀设计的实际应用, 需要构造一批均匀设计表. 文献中提出各种构造均匀设计的方法, 包括下面三类: 拟 Monte Carlo 法 [2,37,38] 、组合方法 [39][40][41][42][43][44][45] 和数值搜索法 [13,27,[46][47][48] . [13] 及 Winker 和 Fang [46] 首先应用门限接受法来构造星偏差意义下的均匀设计.…”

“…其后, Fang 等 [23] 把 WD 和 CD 的表达式变换成列平衡的函数和 Hamming 距离的 函数, 且基于这些结果对于局部搜索启发式的门限接受法提出了一种有效的更新方法, 其可以快速有 效地构造均匀设计. Fang 等 [27] 还提出了一种有效的平衡追赶的启发式算法来构造许多新的均匀设 计表, 并可以构造高水平的均匀设计, 该方法比传统的门限接受法效果更好. Fang 等 [25] 也采用该方 法获得许多均匀设计.…”