Markov partitions for toral $\mathbb{Z}^2$-rotations featuring Jeandel-Rao Wang shift and model sets

Abstract

We define a partition P 0 and a Z 2 -action by rotations on a 2-dimensional torus whose associated symbolic dynamical system is a minimal proper subshift of the Jeandel-Rao aperiodic Wang shift defined by 11 Wang tiles. We define another partition P U and Z 2 -action by rotations on T 2 whose associated symbolic dynamical system is equal to a minimal and aperiodic Wang shift defined by 19 Wang tiles. This proves that P U is a Markov partition for the Z 2 -action by rotations on T 2 . We prove in both cases that the Z 2 -action on the torus is the maximal equicontinuous factor of the minimal subshifts and that the set of fiber cardinalities of the factor map is {1, 2, 8}. The two minimal subshifts are uniquely ergodic and are isomorphic as measure-preserving dynamical systems to the Z 2 -action on the torus. It provides a construction of these Wang shifts as model sets of 4-to-2 cut and project schemes. A do-it-yourself puzzle is available in the appendix to illustrate the results.Résumé. Nous définissons une partition P 0 et une Z 2 -action par rotations sur un tore 2dimensionnel dont le système dynamique symbolique associé est un sous-shift propre et minimal du sous-shift apériodique de Jeandel-Rao décrit par un ensemble de 11 tuiles de Wang. Nous définissons une autre partition P U et une Z 2 -action par rotations sur T 2 dont le système dynamique symbolique associé est égal au sous-shift minimal et apériodique défini par un ensemble de 19 tuiles de Wang. On montre que P U est une partition de Markov pour la Z 2 -action par rotations sur T 2 . Nous prouvons dans les deux cas que la Z 2 -action sur le tore est le facteur équicontinu maximal des sous-shifts minimaux et que l'ensemble des cardinalités des fibres du facteur est {1, 2, 8}. Les deux sous-shifts minimaux sont uniquement ergodiques et sont isomorphes en tant que systèmes dynamiques mesurés à la Z 2 -action sur le tore. Les résultats fournissent une construction des sous-shifts de Wang en tant qu'ensembles modèles par la méthode de coupe et projection 4 sur 2. Un puzzle à faire soi-même est disponible en annexe pour illustrer les résultats.