Mathematical Problems of the Dynamics of Incompressible Fluid on a Rotating Sphere

Skiba, Yuri N.

doi:10.1007/978-3-319-65412-6

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“…Thus the super-rotation flow is Liapunov stable if σ = µ = 0, and is the global attractor (asymptotically Liapunov stable) if ρ > 0. The same is true for any flow from subspace H 1 (Skiba, 1989).…”

Section: Positive Functional For the Stability Studymentioning

confidence: 65%

“…of homogeneous spherical polynomials of degree n (Richtmyer, 1981). Orthogonal projector Y n : ∞ (S) H n is introduced by means of the convolution with Legendre polynomial P n (x) (Skiba, 1989(Skiba, , 2004:…”

Section: Spherical Harmonics Projectors and Fractional Derivativesmentioning

confidence: 99%

“…Operator Λ r = ∞ 0 (S) ∞ 0 (S) is symmetric, Λ r ψ, h s = ψ, Λ r h s , and hence, closable, and extended to s . Namely, an element z ∈ s is called the rth derivative Λ r ψ of a function ψ ∈ s if z, h s = z, Λ r h s holds for all h ∈ ∞ 0 (S) (Skiba, 1989).…”

Section: Hilbert Spaces Smentioning

confidence: 99%

“…holds for sufficiently smooth complex-valued functions ψ, g and h on S (Skiba, 1989). Let be the set of complex numbers, ψ ∈ ∞ (S), ψ : S → , and let G(ψ) = G ° ψ be a superposition of two functions.…”

Section: Vorticity Equationmentioning

confidence: 99%

“…The nonlinear barotropic vorticity equation (BVE) describing the vortex dynamics of a viscous incompressible and forced fluid on a rotating sphere is considered, which takes into account the Rayleigh friction, the sphere rotation, the external vorticity source (forcing) F (t, x), and the turbulent viscosity term of common form v(-Δ) s+1 ψ, where s ≥ 1 is an arbitrary real number. The case s = 1 corresponds to the classical form used in Navier-Stokes equations (Ladyzhenskaya, 1969;Szeptycki, 1973a, b;Temam, 1984;Tribbia, 1984;Ilyin and Filatov, 1988), while the case s = 2 was considered for example in Simmons et al (1983), Dymnikov and Skiba (1987a, b), and Skiba (1989). The turbulent term of such form for natural numbers s is applied in Lions (1969) for studying the solvability of Navier-Stokes equations in a limited area by the artificial viscosity method.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Role of forcing in large-time behavior of vorticity equation solutions on a sphere

Skiba

2015

Atm

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Se considera la ecuación no lineal de vorticidad barotrópica (BVE) que describe la dinámica de vórtice de un de las soluciones de la BVE no estacionaria cuando t → ∞. Se dan las formas particulares de la fuente externa de vorticidad que garantizan la existencia de un conjunto atractivo acotado en el espacio de fase de las soluciones. Se muestra que el comportamiento asintótico de las soluciones BVE depende de la estructura y asintótica global de soluciones BVE, suaves y débiles. Se consideran conjuntos atractivos simples de un po. Cada conjunto atractivo representa una solución cuasi-periódica de la BVE del subespacio complejo H n de dimensión (2n + 1) que contiene los polinomios esféricos homogéneos de grado n. Su trayectoria es una espiral abierta densamente enrollada alrededor de un toro 2n-dimensional en H n , y por lo tanto su dimensión de Hausdorff es igual a 2n. Cuando el número generalizado de Grashof G ño, el dominio de atracción de tal solución espiral se expande de H n a todo el espacio de fase de la BVE. Se muestra que para un valor determinado G, existe un número entero n G tal que cada solución espiral generada por un forzamiento de H n con n ≥ n G es estable global y asintóticamente. Así, demostramos la diferencia en el comportamiento asintótico en los casos en que el número de Grashof G miento es estacionario o no estacionario. En el caso del forzamiento estacionario, la dimensión del atractor de G. Y en el caso del forzamiento no estacionario, la dimensión de la solución atractiva espiral (igual a 2n) puede ser arbitrariamente grande si el grado n del forzamiento polinomial cuasi-periódico crece. Dado que las funciones cuasi-periódicas de pequeña escala, a diferencia de las funciones estacionarias, representan más adecuadamente el forzamiento en la atmósfera barotrópica, este resultado es de interés meteorológico y muestra que la dimensión de los conjuntos atractivos no sólo depende de la amplitud del forzamiento, sino también de su estructura espacial y temporal. Este ejemplo ABSTRACT The nonlinear barotropic vorticity equation (BVE) describing the vortex dynamics of viscous incompressible as t → ∞ is studied. Particular forms of the external vorticity source are given that guarantee the existence of a bounded attractive set in the phase space of solutions. The asymptotic behavior of the BVE solutions is shown for global asymptotic stability of smooth and weak BVE solutions are also given. Simple attractive sets of attractive set represents a BVE quasi-periodic solution of the complex (2n + 1)-dimensional subspace H n of homogeneous spherical polynomials of degree n. The Hausdorff dimension of its trajectory, being an open

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Section: Positive Functional For the Stability Studymentioning

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