Método de diferenças finitas não local aplicado ao cálculo fracionário

Abstract

Método de diferenças finitas não clássico aplicado ao cálculo fracionárioNonstandard schemes finite difference applied to fractional calculus Resumo A teoria do cálculo fracionário tem se tornado uma importante ferramenta para descrever a dinâmica de sistemas complexos em diversasáreas do conhecimento, como física, biomatemática, química e biologia. Pelo fato de que nem todos os sistemas de equações diferenciais, de ordem inteira ou fracionária, apresentam solução analítica, surge a necessidade de obter métodos numéricos para aproximar tais soluções. Noâmbito de cálculo de ordem não inteira há poucos algoritmos desenvolvidos, então apresentamos neste trabalho um método numérico para aproximar a solução de uma equação de ordem fracionária. Este método numéricoé dado por meio de diferenças finitas não clássico. Como aplicação para o método propostoé apresentada a solução numérica para a equação logística fracionária e para o modelo de Brusselator fracionário. Esses resultados obtidos através de simulação estão de acordo com os teóricos obtidos através da análise de estabilidade encontrados na literatura. Palavras-chave: Cálculo Fracionário, Método Numérico, Equação Logística, Modelo de Brusselator. AbstractThe theory of fractional calculus has become an important tool to describe the dynamics of complex systems in several areas of knowledge, such as physics, biomathematics, chemistry and biology. Due to the fact not all differential equations presents an analytical solution, the need arises to obtain numerical methods to approximate this solutions. In the context of fractional calculus, there are a few developed algorithms, then in this paper we present an numerical method to approximate the solution of fractional equation. This method is given by nonstandard scheme finite difference. As application we shown the numerical solution to fractional logistic equation and to fractional Brusselator model. This results obtained by simulation prove the theoretical it given by stability analysis found in the literature. Keywords: Fractional Calculus, Numerical methods, Logistic Equation, Brusselator Model. IntroduçãoDurante asúltimas décadas o cálculo fracionário tem se tornado uma importante ferramenta para descrever a dinâmica de sistemas complexos em diversasáreas do conhecimento.A utilização de conceitos e técnicas do cálculo de ordem não inteira tem possibilitado importantes resultados em váriasáreas do conhecimento, como controle e robótica, circuitos elétricos, biomatemática, química, biologia, processos estocásticos, entre outros (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015). Além dissoé uma ferramenta importante para refinar a descrição de fenômenos naturais, em particular aqueles que possuem dependência temporal (PODLUBNY, 1999).Pelo fato de que nem todos os sistemas de equações diferenciais, de ordem inteira ou fracionária, apresentam solução analítica, surge a necessidade de obter métodos numéricos para aproximar tais soluções.A essência dos métodos numéricos está na representação discreta (finita) do problema que, em geral, modela...