Métodos de elementos finitos híbridos estáveis e estabilizados para escoamentos miscíveis em meios porosos heterogêneos

Abstract

O escoamento de fluidos miscíveis em meios porosos é modelado matematicamente pelo acoplamento do problema de Darcy com o transporte. Essas equações apresentam uma forte relação de dependência principalmente em casos com razão de mobilidade adversa. Além da não-linearidade e do forte acoplamento entre as equações, há ainda dificuldades numéricas relacionadas à predominância dos efeitos convectivos, heterogeneidade dos meios porosos e compatibilidade dos espaços de aproximação. Neste sentido, propomos o estudo de métodos de elementos finitos híbridos estáveis e estabilizados capazes de superar as dificuldades típicas deste problema e, em alguns casos, assegurar a conservação local de massa. Os métodos ditos estáveis são caracterizados pelo uso dos espaços de aproximação de Raviart-Thomas, enquanto que os estabilizados incorporam resíduos de mínimos quadrados à formulação. Dessa forma, desenvolvemos métodos mistos híbridos para o problema de Darcy e para o problema do transporte, visando gerar formulações para a equação do transporte compatíveis com as formulações para o problema de Darcy, onde os métodos estáveis para Darcy são combinados aos estáveis para o transporte e o mesmo ocorre para os métodos estabilizados. Portanto para manter esta correspondência entre as formulações, a escolha para os multiplicadores de Lagrange, em ambas as abordagens, é de mesma natureza, associada ao traço da variável escalar. Os métodos estáveis e estabilizados para o problema do transporte são combinados a um esquema upwind, empregado para suavizar os efeitos do regime predominantemente convectivo, e discretizados no tempo por uma abordagem de segunda ordem baseada no método de Crank-Nicolson. Neste contexto, os métodos estáveis e estabilizados empregando multiplicadores contínuos e descontínuos são testados e validados, através de estudos de convergência, para o problema de Darcy e do transporte separadamente e de forma acoplada para problema Darcy-transporte. Além disso, diversos cenários são simulados em meios homogêneos e heterogêneos supondo razão de mobilidade unitária e adversa onde os métodos propostos demonstram a capacidade de capturar os fenômenos de geração de “dedos” e padrões fractais gerados por este tipo de abordagem, além de apresentar uma redução dos efeitos oscilatórios provenientes da convecção dominante que é inerente a essas aplicações.