Metric properties of Outer Space

Abstract

ABSTRACT. We define metrics on Culler-Vogtmann space, which are an analogue of the Teichmüller metric and are constructed using stretching factors. In fact the metrics we study are related, one being a symmetrised version of the other. We investigate the basic properties of these metrics, showing the advantages and pathologies of both choices.We show how to compute stretching factors between marked metric graphs in an easy way and we discuss the behaviour of stretching factors under iterations of automorphisms.We study metric properties of folding paths, showing that they are geodesic for the non-symmetric metric and, if they do not enter the thin part of Outer space, quasi-geodesic for the symmetric metric.

Quotients compacts des groupes ultramétriques de rang un

“…pour tout γ ∈ Γ 0 et tout x ∈ X. Nous montrons que cette borne supérieure est atteinte sur une partie finie F de Γ 0 {1} indépendante de X et de ρ, ce qui généralise un résultat non publié de T. White sur l'outre-espace, dont une preuve a été donnée par S. Francaviglia et A. Martino [9]. Nous en déduisons le résultat suivant.…”

“…Le point (3) de la proposition 4.1 affirme que cette inégalité est une égalité et que la borne supérieure dans le terme de gauche est atteinte sur un sous-ensemble fini F indépendant de ρ. Dans le cas particulier où ρ est injectif d'image discrète et cocompacte, ce résultat est équivalent à un résultat de T. White obtenu en étudiant une certaine "distance asymétrique" sur l'outre-espace ( [9], prop. 3.15) : nous renvoyons à la partie 6 pour plus de détails.…”

“…Sur l'outre-espace, cette distance asymétrique a d'abord été étudiée par T. White dans un texte non publié, puis récemment par S. Francaviglia et A. Martino [9] qui se sont intéressés à une symétrisation de cette distance et à la géométrie correspondante sur l'outre-espace.…”

On the geometry of Outer space

“…Bestvina was perhaps the first to suggest transporting this idea to Outer space, and a nice account of the basic properties of this metric can be found in his 2012 PCMI lecture notes [7], where he attributes some of these as unpublished results of his former student Tad White. Francaviglia and Martino published the first systematic study of this metric in [17].…”

“…Francaviglia and Martino [17] studied basic properties of both the Lipschitz metric and its symmetized version, and found that the unsymmetrized version has a number of advantages over the symmetrized one. Perhaps the greatest of these is that CV n is geodesically complete in the unsymmetrized version, but is not in the symmetrized one.…”