Minimal Submanifolds in Pseudo-Riemannian Geometry

Inhomogeneous Jacobi equation for minimal surfaces and perturbative change in holographic entanglement entropy

“…However for nonstatic cases, where the timelike killing vector is not hypersurface orthogonal, or for dynamical geometries, where there is no time like Killing vector, γ A is no more minimal, and therefore RT proposal fails and one has to resort to the more general HRT proposal. (In terms of nomenclature, in the mathematics literature, a minimal surface refers to just the critical point of the area functional and may not correspond to the minimum of the functional [7]. This is particularly the case in manifolds endowed with a semi-Riemannian metric.…”

Lagrangian immersions in the product of Lorentzian two manifolds

“…Let (Σ, g) be a two dimensional oriented manifold endowed with a non degenerate Lorentzian metric g. Then in a neighbourhood of any point there exist local isothermic coordinates (s, t), i.e., g ss = −g tt and g st = 0 (see [2]). The endomorphism j : TΣ → TΣ defined by j(∂/∂s) = ∂/∂t and j(∂/∂t) = ∂/∂s, satisfies j 2 = Id T Σ and g(j., j.)…”

“…The metric G ǫ is of neutral signature and therefore a necessary condition for a minimal surface to be stable is that the induced metric Φ * G ǫ must be Riemannian [2]. This implies that ǫ φ = ǫǫ ψ and hence the second variation formula becomes…”

Caracterizações de subvariedades marginalmente aprisionadas em formas espaciais

“…Vol(M t ) = 0, onde M t é uma variação de M, dentro de M, que fixa o bordo de M. Mostra-se (vide, por exemplo, Anciaux em [25] ou Osserman em [9]) que tais subvariedades na verdade minimizam localmente este funcional volume. Outra condição relacionada com esta é a seguinte: M é dita totalmente geodésica se a sua Segunda Forma Fundamental é identicamente nula: II = 0.…”

“…Define-se, como no caso Riemanniano, um certo funcional volume, e mostra-se novamente (Anciaux, em [25]) que uma subvariedade (com métrica induzida também não-degenerada) é um ponto crítico de tal funcional volume se e somente se o seu vetor curvatura média é identicamente nulo. Todavia, deixa de ser verdade que tais subvariedades minimizam localmente o volume.…”