Modeling anomalous heat transport in geothermal reservoirs via fractional diffusion equations

Abstract

The aim of this article is to give an overview of the current research towards applications of fractional partial differential equations for the modeling of anomalous heat transfer in porous media. We start with presenting a physical background behind the anomalous processes described by the Continuous Time Random Walk (CTRW) model and arguing its feasibility for modeling of heat transport processes in heterogeneous media. From the CTRW model on the microscopic level, a macroscopic model in form of a generalized fractional diffusion equation is then deduced. Both mathematical analysis of the generalized fractional diffusion equations and some methods for their numerical treatment are presented. Finally, some open questions and directions for further work are suggested

Mathematische Methoden in der Geothermie

“…Dabei entspricht das lokal kompakte Wavelet ψ τ j der Differenz der Skalierungsfunktionen φ τ j +1 und φ τ j , d.h. Im Folgenden werden die für hydrothermale Systeme in [68,69] und für petrothermale Systeme in [59] vorgestellten Methoden zur Simulation des Wärmetransports näher betrachtet.…”

“…Wegen seiner breiten Anwendbarkeit findet das Konzept anomaler Transportvorgänge immer mehr Beachtung in den Naturwissenschaften (vgl. [59] und die darin aufgeführte Literatur).…”

“…Im Folgenden wird in Anlehnung an [59] der Fall der Subdiffusion betrachtet, d.h. 0 < α < 1. Wird beispielsweise eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ψ mit erstem Moment τ gewählt, deren Laplace-Transformation die Form…”

“…Oftmals können die Methoden, die für klassische elliptische oder parabolische partielle Differentialgleichungen benutzt werden, nicht verallgemeinert werden. Ein Beispiel bei dem die Verallgemeinerung der bekannten Konzepte möglich ist, wurde in [57][58][59] vorgestellt. Das (Dirichlet) Anfangs-Randwert-Problem mit 0 < α ≤ 1 -hier für den 3-dimensionalen Fall dargestellt -lautet…”

“…In dieser Arbeit werden -basierend auf den Betrachtungen in [3,28,30,33,35,37,45,46,59,68,69] -zuerst kurz der geothermische Hintergrund und insbesondere die relevanten Reservoirtypen dargestellt. Im Anschluss werden für diese Reservoirtypen die den einzelnen Säulen zugrundeliegenden Differential-und Integralgleichungen beschrieben.…”