Multivariable $(\varphi ,\Gamma )$-modules and representations of products of Galois groups: The case of the imperfect residue field

Abstract

Let K be a complete discretely valued field with mixed characteristic (0, p) and imperfect residue field k α . Let ∆ be a finite set. We construct an equivalence of categories between finite dimensional F p -representations of the product of ∆ copies of the absolute Galois group of K and multivariable étale (ϕ, Γ)-modules over a multivariable Laurent series ring over k α .Résumé ((ϕ, Γ)-modules multivariables et représentations du produit du groupe de Galois: le cas des corps résiduels imparfaits) Soit K un corps discrètement valué à charactéristique mixte (0, p) et un corps résiduel imparfait k α . Soit ∆ un ensemble fini. Nous établissons une équivalence de catégories entre des représentations de dimensions finies sur F p du produit de ∆ copies du groupe absolu de Galois de K et des (ϕ, Γ)-modules étales multivariables sur un anneau multivariable des séries Laurent sur k α .