Non-Trapping sets and Huygens Principle

Abstract

Abstract.We consider the evolution of a set Λ ⊂ R 2 according to the Huygens principle: i.e. the domain at time t > 0, Λt, is the set of the points whose distance from Λ is lower than t. We give some general results for this evolution, with particular care given to the behavior of the perimeter of the evoluted set as a function of time. We define a class of sets (non-trapping sets) for which the perimeter is a continuous function of t, and we give an algorithm to approximate the evolution. Finally we restrict our attention to the class of sets for which the turning angle of the boundary is greater than −π (see [2]). For this class of sets we prove that the perimeter is a Lipschitz-continuous function of t. This evolution problem is relevant for the applications because it is used as a model for solid fuel combustion.Résumé. Considérons l'évolution d'un ensemble Λ ⊂ R 2 suivant le principe de Huygens : au temps t > 0, cet ensemble est transformé en Λt, l'ensemble des points dont la distanceà Λ est inférieureà t. Nous prouvons quelques résultats généraux pour cetteévolution et nousétudions en détail l'évolution du périmètre de Λt. Nous définissons une classe d'ensembles (dits ensembles non-piégeants) pour lesquels le périmètre est une fonction continue de t, et nous donnons un algorithme pour approcher cette solution. Enfin, nous considérons la classe des ensembles pour lesquels l'intégrale de la courbure sur tout sous-arc orienté de la frontière est supérieureà −π (voir [2]). Pour cette classe d'ensembles, nous montrons que le périmètre est une fonction lipschitzienne de t. Cetteévolution du périmètre est utilisée comme modèle de combustion de propergols solides.

Thin front propagation in steady and unsteady cellular flows

“…With open boundary conditions, at large times the front surface is asymptotically close to a sphere (circle in 2d). However, the preasymptotic behavior is mathematically non trivial [29] and interesting in some technological problems.…”