Noncommutative index theory for mirror quantum spheres

Abstract

We introduce and analyse a new type of quantum 2-spheres. Then we apply index theory for noncommutative line bundles over these spheres to conclude that quantum lens spaces are non-crossed-product examples of principal extensions of C * -algebras. To cite this article: P.M. Hajac et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006). Résumé Théorie de l'indice non commutative pour des sphères quantiques miroirs. Nous introduisons et analysons un nouveau type de 2-sphères quantiques. Nous appliquons la théorie de l'indice pour les fibrés en droites non commutatifs sur ces sphères afin de déduire que les espaces lenticulaires quantiques sont des exemples d'extensions principales de C * -algèbres qui ne sont pas des produits croisés. Pour citer cet article : P.M. Hajac et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).La C * -algèbre C(S 2 pq+ ) d'une sphère quantique de Podleś générique [18] peut être vu comme un produit fibré de deux algèbres de Toeplitz T [19]. Le produit fibré est défini par la fonction symbole T σ → C(S 1 ) de la façon suivante :Cela peut être vu comme un amalgame de deux disques quantiques dont on identifie les bords S 1 . Nous considérons un amalgame similaire de disques quantiques mais avec une identification différente des bords, plus précisement C(S 2 pq− ) := {(x, y) ∈ T × T | σ (x) =σ (y)} (oùσ est le morphisme d'algèbre défini en envoyant l'isométrie génératrice de T sur l'inverse du générateur unitaire de C(S 1 )). Cela peut être vu comme le amalgame du bord d'un disque quantique avec celui son image-miroir. Du point de vue algébrique, nous commençons par O(D p ), la sous- * -algèbre dense de T définie par la * -algèbre unitaire universelle pour la relation[15]. Nous considérons alors les versions algébriques de σ et deσ qui envoient x E-mail addresses: pmh@impan.gov.pl (P.M. Hajac), matthes@fuw.edu.pl (R. Matthes), Wojciech.Szymanski@newcastle.edu.au (W. Szymański). URL: http://www.impan.gov.pl/~pmh (P.M. Hajac).

Piecewise principal comodule algebras

“…To end with, we recall from [DHH], [HMS06a], [BHMS05] and [HMS06b] certain constructions of algebras and show that they are piecewise trivial comodule algebras. This way we indicate possible areas of applications of Section 3.…”

“…The C*-subalgebra of U.1/-invariants is the C*-algebra of the mirror quantum 2-sphere from [HMS06b]. As mentioned in Subsection 2.5, we can pass from the U.1/-C*-algebra C.S 3 pq / to the associated principal comodule algebra, and this procedure always commutes with taking fibre products.…”

Noncommutative balls and mirror quantum spheres

“…While β = id gives rise to previously known quantum spheres, the latter case produces a new class of quantum spheres which we call mirror quantum spheres. This construction and analysis generalizes results from [13], applicable to the case of C(S 2 q,β ). We define the polynomial algebra O(S 2n q,β ) as follows.…”

“…For such a β, we call S 2n q,β mirror quantum sphere. Our construction generalizes that of [13] carried for 'dimension 2'. While S 2n q,id may be naturally identified with the Euclidean quantum spheres (Proposition 5.1), the mirror quantum spheres S 2n q,β are new (already on the C * -algebra level).…”

“…Secondly, we construct quantum spheres by gluing as 'double manifolds' of noncommutative balls. Even though the latter technique goes back to [28], only recently has it been used to produce new examples of 'two-dimensional' mirror quantum spheres [13], and we generalize this approach to 'higher dimensions'.In Section 2, working with arbitrary unital C * -algebras and their generators, we show how to perform the quantum double suspension operation not only on the C * -algebra level as in [15] but also on the level of a dense * -subalgebra (of polynomial functions). In Sections 3 and 4, we use this procedure to construct noncommutative balls in all 'dimensions' via repeated application of the quantum double suspension to a point ('even dimensions') and to a closed interval ('odd dimensions').…”