Nonequivalence of Controllability Properties for Piecewise Linear Markov Switch Processes

Abstract

Abstract. In this paper we study the exact null-controllability property for a class of controlled PDMP of switch type with switch-dependent, piecewise linear dynamics and multiplicative jumps. First, we show that exact null-controllability induces a controllability metric. This metric is linked to a class of backward stochastic Riccati equations. Using arguments similar to the euclidian-valued BSDE in [4], the equation is shown to be equivalent to an iterative family of deterministic Riccati equations that are solvable. Second, we give an example showing that, for switch-dependent coefficients, exact null-controllability is strictly stronger than approximate null-controllability. Finally, we show by convenient examples that no hierarchy holds between approximate (full) controllability and exact nullcontrollability. The paper is intended as a complement to [11] and [10].Résumé. Nousétudions la propriété de zéro-contrôlabilité exacte pour une classe de processus de type Markovienà switch ayant des dynamiques linéaires par morceauxà coefficients switchés et bruit multiplicatif. Premièrement, nous montrons que la zéro-contrôlabilité exacte induit une métrique de contrôlabilité. Celle-ci est liéeà une classe d'équations stochastiques rétrogrades de type Riccati. En employant des arguments similaires aus EDSR classiques ( [4]), l'équation de Riccati se réduità une famille d'équations itératives déterministes de type Riccati qui admettent une solution unique. Deuxièmement, nous présentons un exemple montrant que, pour des systèmesà coefficients switchés, la propriété de zéro-contrôlabilité exacte est strictement plus forte que celle de zéro-contrôlabilité approchée. Finalement, nous montrons,à l'aide d'exemples particuliers, l'impossibilitéàétablir une hiérarchie entre les propriétés de contrôlabilité approchée (vers une cible arbitraire) et celle de zéro-contrôlabilité exacte. Ce travail doitêtre regardé en complément desétudes menées dans [11] et [10].