NP ≠ co-NP and models of Arithmetic

Sureson, Claude

doi:10.1016/0304-3975(94)00234-a

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“…As caracterizações global e local do problema P ? = NP que desenvolvemos a partir do trabalho de J. Paris e C. Dimitracopoulos [Paris and Dimitracopoulos(1982)] e A. Maté e C. Sureson [Máté(1990), Sureson(1995)] exibem outro caráter paradoxal de uma possível solução desse problema. O corolário 5.4.1 da caracterização local mostra que P NP se, e somente se, formos capazes de separar dois modelos não-padrão enumeráveis da aritmética através de uma Σ 1 -fórmula conquanto eles sejam polinomialmente indistinguíveis.…”

Section: Análise Dos Resultadosunclassified

“…Em outras palavras, a solução de um problema modelo-teórico da aritmética implicaria na solução do principal problema em complexidade computacional. Em 1995, C. Sureson [Sureson(1995)] mostrou que a solução NP coNPé de fato equivalenteàs especificações propostas por Máté.…”

Section: Problemáticaunclassified

“…Em contrapartida, agora podemos apresentar a abordagem de Máté de forma direta. O próximo lema, constatado por C. Sureson [Sureson(1995)], será o passo crucial para isso.…”

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Uma abordagem modelo-teórica da computabilidade de Turing clássica

Araujo¹,

Carnielli²

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This PhD thesis proposes a new approach to classical Turing computability, called a model-theoretic approach. In that approach, structures and theories are associated to Turing machines in order to study the characteristics of their computations. A model-theoretic approach to Turing computability through first-order logic is developed, and first results about correspondence, soundness, representation and completeness among Turing machines, structures and theories are proved. In this line, the results about properties as stability, absoluteness, universality and logicality emphasize the importance of the model-theoretic standpoint. It is shown that the underlying logic of Turing theories is a minimal intuicionistic logic, being able to internalize a classical negation operator. The techniques obtained in the present dissertation permit us to examine the Turing computability over nonstandard models of arithmetic as well. In this context, a new perspective about Tennenbaum's phenomenon and a critical evaluation of Dershowitz and Gurevich's account on Church-Turing's thesis are given. As a consequence, an arithmetic internality principle is postulated, according to which the concept of computation itself is relative to the arithmetic model that Turing machines operate. In this way, the dissertation unifies the existing model-arithmetic characterizations of the P versus NP problem, leading, as a by-product, to a model-arithmetic barrier to the solvability of that central problem in computational complexity with respect to certain techniques. As a whole, the dissertation sustains that crucial characteristics of the concept of computation may be understood from the duality between finiteness and infiniteness inherent within the distinction between standard and nonstandard natural numbers.

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Section: Análise Dos Resultadosunclassified

Section: Problemáticaunclassified

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Uma abordagem modelo-teórica da computabilidade de Turing clássica

Araujo¹,

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“…Ou seja, trabalhar com modelos muitas vezes torna as técnicas mais visíveis e naturais, mesmo que pudéssemos obter os mesmos resultados sintaticamente Entretanto, nesse enfoque, não se têm mais caracterizadas as classes de complexidade, mas sim alguns dos seus problemas isoladamente. Por exemplo, Máté [Mát90] mostra que a existência de dois modelos nãcr-standard específicos da Aritmética Verdadeira -i.e., de TA, a teoria completa de todas as fórmulas de primeira ordem que são satisfeitas pelo modelo sfízndízrd l$---implicam que ./V7) # ccr-JvP: Já Sureson [Sur95] comp]eta a caracterização, mostrando a volta da implicação. Ainda Sureson [Sur96] retorna ao assunto, obtendo resultados mais fortes, desta vez sobre a existência de modelos não-standard de Fragmentos da Aritmética de Peano, que são bem menos restritos que a Aritmética Verdadeira TA.…”

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