Numerik viskoelastischer Stoffgesetze mit fraktionalen Zeitableitungen

Abstract

Verallgemeinerte rheologische WerkstoffmodelleIn verallgemeinerten rheologischen Modellen sind die ganzzahligen Zeitableitungen durch gebrochene Ableitungen ersetzt [3]. Die bekanntesten Definitionen für gebrochene AbleitungenDie Werkstoffgleichungen der verallgemeinerten rheologischen Grundkörper des Kelvin-(3) und Maxwellmodells (4) folgen mit den Materialparametern µ, ρ, η und der Relaxationszeit ξ zuIm Weiteren werden beide Grundkörper für 1D-und 3D-Strukturanalysen eingesetzt. Integrationsalgorithmus mit inneren VariablenBei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen mit gebrochenen Ableitungen werden meist Verfahren verwendet, die auf der Grünwaldreihe (2) oder Quadraturformeln für (1) beruhen. Hier wird das Werkstoffgesetz (5) gewählt, wobei J(t − τ ) die Kriechfunktion des zugrunde liegenden Werkstoffgesetzes nach (3) oder (4) ist. Mit dem Ansatz einer Dirichletreihe (6) für die Kriechfunktion gelingt es, einen effizienten Berechnungsalgorithmus in inkrementeller Form mit inneren Variablen zu entwickeln [1,4]. Die Anzahl der inneren Variablen korrespondiert mit der Anzahl der Dirichletreihenglieder.Die Koeffizienten A µ der Dirichletreihe werden mit einem Verfahren von Tschoegl zur Diskretisierung eines stetigen Retardationsspektrums nach Vorgabe der Retardationszeiten τ µ analytisch bestimmt. Für eine ausreichend gute Approximation der Kriechfunktion darf die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden τ µ nicht zu groß werden.