Obstruction to isometric immersions

Abstract

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη:Στο πρώτο μέρος, (Κεφάλαια 2, 3 και 4) αποδεικνύουμε φράγματα, που εξαρτώνται από τους αριθμούς Betti, για ολοκληρωτικές καμπυλότητες συμπαγών υποπολυπτυγμάτων του Ευκλειδείου χώρου, με χαμηλή συνδιάσταση. Ως συνέπεια,(i) Υπολογίζουμε την ομολογία των σχεδόν σύμμορφα ισόπεδων (almost conformallyflat) υπερεπιφανειών σε πλήρη και απλά συνεκτικά πολυπτύγματα Riemann,με σταθερή καμπυλότητα τομής (χώροι μορφής).(ii) Αποδεικνύουμε μια αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε ένα συμπαγές πολύπτυγμα Riemannνα επιδέχεται ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση ως υπερεπιφάνεια στη σφαίρα.(iii) Επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Shiohama και Xu [58] για συμπαγείς υπερεπιφάνειες σε χώρους μορφής.(iv) Δίνουμε τοπολογικούς περιορισμούς για δ-pinched εμβαπτίσεις.(v) Δίνουμε εσωτερικούς περιορισμούς για συμπαγή ελαχιστικά υποπολυπτύγματα της σφαίρας με pinched δεύτερη θεμελιώδη μορφή.Στο δεύτερο μέρος (Κεφάλαιο 5), ασχολούμαστε με το πρόβλημα της ταξινόμησης των υποπολυπτυγμάτων Einstein με ισόπεδη κάθετη δέσμη σε χώρους μορφής. Συγκεκριμένα,αποδεικνύουμε ότι τέτοια υποπολυπτύγματα είναι (τουλάχιστον τοπικά) holonomic.Ως εφαρμογή, κάτω από την υπόθεση ότι ο δείκτης μηδενοκατανομής (relativenullity) της εμβάπτισης είναι θετική σταθερά, συμπεραίνουμε ότι το υποπολύπτυγμα έχει τη δομή γενικευμένου κύλινδρου επί ενός υποπολυπτύγματος με ισόπεδη κάθετη δέσμη. Τέλος, δίνουμε ταξινόμηση των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων υπό την επιπλέον συνθήκη ότι το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας είναι παράλληλο ως προς την κάθετη συνοχή.