Obstructions for two-vertex alternating embeddings of graphs in surfaces

Abstract

A class of graphs that lies strictly between the classes of graphs of genus (at most) k − 1 and k is studied. For a fixed orientable surface S k of genus k, let A k xy be the minor-closed class of graphs with terminals x and y that either embed into S k−1 or admit an embedding Π into S k such that there is a Π-face where x and y appear twice in the alternating order. In this paper, the obstructions for the classes A k xy are studied. In particular, the complete list of obstructions for A 1 xy is presented.

Models of Klein Surface Obstruction Graphs

“…Для цього розглядали всі неізоморфні мінімальні вкладення кожного з базисних мінорів та знаходили множину всіх різних пар вершин, яка є досяжною на проективній площині при операціях видалення чи стискання у точку довільного ребра цього графу, потім до обраної пари точок приєднували пару несуміжних вершин графу 5 \ Ke . В роботі [8] обчислена кількість 2-зв'язних графів-обструкцій для поверхні Клейна, частина діаграм цих графів наведена в [9]. Наш підхід, як продовження [10], полягатиме у знаходженні реберного покриття графу-обструкції G , заданого неорієнтованого роду, мінімальним числом підграфів з числа квазізірок з центрами -графами з суттєвими ребрами відносно числа досяжності чи відносно неорієнтованого роду при операціях стискання в точку, або при видаленні ребра відносно заданої множини точок з числом досяжності 2 відносно евклідової площини та досяжними на проективні площині.…”

“…Для цього розглядали всі неізоморфні мінімальні вкладення кожного з базисних мінорів та знаходили множину всіх різні пари вершин, які є досяжними на проективній площині при операціях видалення чи стискання в точку довільного ребра цього графа, потім до обраної пари точок приєднували пару несуміжних вершин графу K5\e. В роботі [8] обчислена кількість 2-зв'язних графів-обструкцій для поверхні Клейна, частина діаграм цих графів наведена в [10]. Зазначимо, що наведене далі визначення кліткової відстані має аналогічне в [11].…”

“…To do this, we considered all non-isomorphic minimal embeddings of each of the basic minors and found the set of all different pairs of vertices that are reachable on the projective plane during the operations of removing or compressing an arbitrary edge of this graph to a point, then a pair of non-adjacent graph vertices was attached to the selected pair of points. In [8], the number of 2-connected obstruction graphs for the Klein surface was calculated, part of the diagrams of these graphs is given in [10]. Note that the following definition of the cell distance is similar to that in [11].Our approach, as a continuation of [9], will consist in finding the edge covering of an obstruction graph of a given kind by the minimum number of subgraphs of the covering from the number of quasi-stars with centers -graphs with essential edges relative to the number of reachability or nonorientable genus during compression to a point or removal operations edges relative to a given set of points with reachability number 2 relative to the Euclidean plane and reachable on projective planes or Klein surfaces, for example, these are subsets of the set of points of graphs K4, K2,3, K5\е, Kr, r  2, or graph-obstructions of the projective plane.…”