On a determinantal formula of Tadić

Abstract

We study a special class of irreducible representations of GL n over a local non-Archimedean field which we call ladder representations. This is a natural class in the admissible dual which contains the Speh representations. We show that the Tadić determinantal formula is valid for this class and analyze the standard modules pertaining to these representations.

Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de {\rm GL}(m,{\rm D})

“…(Rappelons qu'une représentation irréductible π est dite elliptique si le caractère χ π de π n'est pas identiquement nul sur l'ensemble des éléments elliptiques réguliers ; il est facile de voir qu'une représentation π est elliptique si et seulement si elle a le même support cuspidal qu'une représentation essentiellement de carré intégrable, si et seulement si son support cuspidal est un segment ; en particulier, une représentation elliptique est en échelle.) La description combinatoire de l'involution de Zelevinsky m → m t (voir 2.8) est particulièrement simple dans ce cas, comme il est explique dans [13]. Étant donné un multisegment en échelle m = ([a 1 , b 1 ], .…”

“…Dans [13] on montre que, dans le groupe de Grothendieck π = π 1 + π 2 (π 2 peut être éventuellement 0), et on conjecture que π 1 et π 2 sont irréduc-tibles (ou nulles). On peut prouver maintenant cette conjecture.…”

“…Plus généralement on considère le cas des représentations en échelle (cf. [13], voir paragraphe 4.1 pour la définition), classe qui généralise de façon naturelle celle de représentation de Speh (et qui contient aussi les représentations elliptiques). On montre que la conjecture [5,Conjecture 3.11] sur l'irréductibilité du transfert de Jacquet-Langlands est vraie pour des telles représentations et on répond à la question posée dans [13,Remark 5], qui apparaît aussi naturellement dans [11].…”

“…Soit π une représentation irréductible de G. On sait qu'il existe un unique élément LJ(π) du groupe de Grothendieck des représentations de G tel que LJ(π) soit le transfert de π ( La formule (dite des caractères) démontrée dans [13], qui généralise les ré-sultats de [22] et [11], permet de comprendre le transfert des représentations en échelle. Soit en effet π = L(m) ∈ Irr(G nd ), où m = ([a 1 , b 1 …”

On two questions concerning representations distinguished by the Galois involution

“…Then π ∨ = π τ if and only if at least one of π and χ −1 π is GL n (F )-distinguished. Conjecture 1.2 was resolved by the first author in [8] for ladder representations which is a subclass of rigid representations recently introduced by Lapid and Mínguez ( [15]). The class of ladder representations contains all Speh representations.…”