On a Сlass of Non-Local Boundary Value Problems for the Heat Equation

Abstract

Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений, в том числе уравнения теплопроводности, стали объектом исследований достаточно давно. Интерес к такого рода задачам вызван необходимостью дальнейшего развития теории краевых задач со смещением (задач Нахушева), а также в связи с их многочисленными приложениями. Настоящая статья посвящена исследованию вопроса однозначной разрешимости одного класса нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности. Рассмотрена задача отыскания регулярного решения уравнения теплопроводности с дробной производной Римана -Лиувилля в граничных условиях. Рассмотрена задача Коши для уравнения, эквивалентного исходному уравнению, при этом доказано, что рассматриваемая краевая задача редуцируется к первой краевой задаче для уравнения теплопроводности при условии, что задача Коши имеет единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условиям А. Н. Тихонова. При этом решение представимо в виде интегрального уравнения, содержащим функцию Барретта в ядре. Также редукцией к системе дифференциальных уравнений с дробной производной Римана – Лиувилля решается вопрос единственности и существования решения поставленной задачи, когда в условии стоят значения решения на другом конце. Полученные в работе результаты послужат основой для дальнейшего исследования нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений параболического типа, лежащих в основе математического моделирования процессов в системах с фрактальной структурой, а также развития теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Non-local boundary value problems for parabolic equations, including the equations of thermal conductivity, have been the object of research for a long time. Interest in such problems is caused by the need for further development of the theory of boundary value problems with displacement (Nakhushev’s problems), as well as in connection with their numerous applications. This article is devoted to the study of the question of the unambiguous solvability of one class of nonlocal boundary value problems for the heat equation. The problem of finding a regular solution of the thermal conductivity equation with a fractional Riemann – Liouville derivative under boundary conditions is considered. The Cauchy problem for an equation equivalent to the original equation is considered, and it is proved that the boundary value problem under consideration is reduced to the first boundary value problem for the heat equation, provided that the Cauchy problem has a unique solution in the class of functions satisfying the conditions of A. N. Tikhonov. In this case, the solution is represented as an integral equation containing the Barrett function in the kernel. Also, by reducing to a system of differential equations with a fractional Riemann-Liouville derivative, the question of the uniqueness and existence of a solution to the problem is solved when the values of the solution at the other end are in the condition. The results obtained in this work will serve as a basis for further research of nonlocal boundary value problems for parabolic differential equations underlying mathematical modeling of processes in systems with fractal structure, as well as the development of the theory of fractional differential equations.