On dependence of rational points on elliptic curves

Abstract

Let E be an elliptic curve defined over Q. Let Γ be a subgroup of E(Q) and P ∈ E(Q).In [1], it was proved that if E has no nontrivial rational torsion points, then P ∈ Γ if and only if P ∈ Γ mod p for finitely many primes p. In this note, assuming the General Riemann Hypothesis, we provide an explicit upper bound on these primes when E does not have complex multiplication and either E is a semistable curve or E has no exceptional prime. RésuméSoit E une courbe elliptique définie sur Q. Soit Γ un sous-groupe de E(Q) et P ∈ E(Q). Dans [1], il a été prouvé que si E n'a pas de points de torsion rationnelles non triviales, alors P ∈ Γ si et seulement si P ∈ Γ mod p pour un nombre fini de nombres premiers p.Dans cette note, supposons l'hypothèse général de Riemann, nous fournissons une bornesupérieure explicite sur ces nombres premiers quand E n'a pas de multiplication complexe et soit E est une courbe semi-stable ou E n'a aucun nombre premier exceptionnel.