On modifications of the Lindeberg and Rotar' conditions in the central limit theorem

Abstract

В работе Э. Л. Пресмана и Ш. К. Форманова (ДАН, 485:5 (2019); Dokl. Math., 99:2 (2019)) рассматривались модификации характеристик Линдеберга и Ротаря, связанные с суммой соответственно абсолютных и разностных моментов порядка $2+\alpha$ слагаемых, урезанных на единичном уровне. Показывалось, что вместо того, чтобы проверять сходимость к нулю характеристик Линдеберга или Ротаря при любом $\varepsilon >0$, достаточно проверить, что существует такое $\alpha >0$, что соответствующая этому $\alpha$ характеристика, введенная в упомянутой работе, стремится к нулю, при этом из существования такого $\alpha$ следует стремление к нулю характеристики, соответствующей любому $\alpha >0$. В настоящей работе показывается, что моментные функции можно заменить более общими, и описывается класс соответствующих функций.

Ildar Abdullovich Ibragimov (on his ninetieth birthday)

“…Также примерно в это время И. А. Ибрагимовым [18] и П. Биллингсли [3] независимо была доказана центральная предельная теорема для стационарных случайных последовательностей, образованных величинами с конечной дисперсией, частичные суммы которых являются мартингалом. Позднее в [27] было установлено несколько вариантов центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей, максимальный коэффициент корреляции которых, введенный А. Н. Колмогоровым и Ю. А. Розановым в [83], стремится к нулю.…”

“…Так, в [71] было показано, что данные оценки помимо выражения типа Линдеберга должны включать моментные характеристики, а в [21] были приведены необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная скорость была степенной. Помимо этого, в [22] был найден критерий существования разложения Чебышёва-Крамера (Эджворта), а в совсем недавней совместной с Э. Л. Пресманом и Ш. К. Формановым работе [73] были приведены условия справедливости центральной предельной теоремы, эквивалентные условиям Линдеберга и Ротаря, в которых моментные функции можно заменить более общими.…”