On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space

Abstract

A new metric in the space clos(X) of all closed subsets of a metric space X is proposed. This metric, unlike the generalized Hausdorff metric, takes finite values only, and the convergence of a sequence of closed sets H i , i = 1, 2, . . . , with respect to this metric is equivalent to the convergence (in the sense of Hausdorff ) for any r ≥ 0 of the unions of H i with a closed 'exterior ball' of radius r. Using this metric allows one to investigate multi-valued maps that have images in clos(X) and are not continuous in the Hausdorff metric. In the work, the necessary and sufficient conditions for a multi-valued map to be continuous and Lipschitz with respect to the metric presented are studied, a connection of these properties with their analogues in the Hausdorff metric is derived, and a generalization of the Nadler fixed point theorem is obtained. MSC: 47H04; 47H10; 54E35

Определение метрики пространства $\mathrm{clos}_{\varnothing}(X)$ замкнутых подмножеств метрического пространства $X$ и свойства отображений со значениями в $\mathrm{clos}_{\varnothing}(\mathbb R^n)$

“…[3]), так и произвольного метрического пространства (см. [4]). Все перечисленные выше утверждения о свойствах отображений, удовлетворяющих условиям Каратеодори, удается распространить на отображения F : [a, b] × R m → clos ∅ (R n ), которые измеримы по первому аргументу и непрерывны относительно метрики ρ S R n по второму аргументу.…”

“…Пусть задано метрическое пространство (X, ϱ X ). Вначале приведем предложенное в [4] определение метрики ρ cl X в пространстве clos(X) и сформулируем основные свойства этой метрики.…”

“…Как было отмечено в [4], функция D не возрастает по первому аргументу и не убывает по второму аргументу. Кроме того, для любых p, r ∈ R + значение D(p, r) конечно.…”

“…Доказательство. Справедливость утверждений 1)-3) в случае, когда оба множества F и G непусты, была показана в [4]. Если F = ∅ и G = ∅, то…”

“…Доказательство. Как показано при доказательстве теоремы 1 в [4], для любых непустых замкнутых множеств F, G, H ⊂ X выполнено:…”